Üretim Lot Boyu (EPQ): EOQ'nun Fabrika İçi Kuzeni

Bir mobilya üreticisi düşün. Aynı modeli sürekli müşteri talebine göre üretiyor; talep yıllık 1000 koltuk. Ama fabrikası saatte tek koltuk üretebiliyor; vardiya başına 8, yılda yaklaşık 4000 birim kapasitesi var. Sipariş gelince anında teslim eden bir tedarikçi gibi değil; üretim zaman alıyor ve bu süre içinde müşteri de eş zamanlı koltuk talep ediyor. Bu durumda klasik EOQ’nun “tüm Q birim aynı anda stoğa girer” varsayımı tutmuyor. EPQ (Economic Production Quantity) tam olarak bu boşluğu kapatır.

EPQ nedir?

Economic Production Quantity (Üretim Lot Boyu), tedarik anlık olmayıp sabit bir üretim hızıyla geldiğinde toplam yıllık maliyeti minimize eden üretim partisi büyüklüğüdür. Literatürde EBQ (Economic Batch Quantity) olarak da geçer; ikisi aynı modeldir.

Klasik EPQ varsayımları EOQ’nun bir genişletilmesidir:

1. Talep sabit ve deterministiktir, yıllık $D$ birim.
2. Üretim sabit bir hız $p$ ile yapılır, yıllık $p$ birim. Tedariğin anlık olduğu klasik EOQ’da ise $p \to \infty$.
3. $p > D$ olmalıdır; aksi hâlde talep karşılanamaz.
4. Eksik stok yok, birim fiyat sabittir.

Bir üretim çevrimi iki fazdan oluşur:

• Üretim fazı ($t_p$ uzunluğunda): Hem üretim ($p$) hem tüketim ($d$) eş zamanlı oluyor. Net stok birikim hızı $p − d > 0$. Faz sonunda stok tepe noktasına ulaşır.
• Tüketim fazı ($t_c$ uzunluğunda): Üretim durmuş, sadece tüketim ($d$) sürüyor. Stok lineer şekilde azalır ve faz sonunda sıfırlanır.

Formül

Yıllık toplam maliyet iki bileşenden oluşur:

• Kurulum maliyeti (setup cost): Her üretim partisi için ödenen sabit maliyet — makine değişimi, kalıp ayarı, hat temizliği. Yıllık toplam = $D \cdot S / Q$.
• Taşıma maliyeti (holding cost): Stokta tutulan her birimin yıl boyunca yarattığı maliyet — depo, sermaye, sigorta, eskime. Yıllık toplam = ortalama stok × $H$ = $\tfrac{Q \cdot (1 − d/p) \cdot H}{2}$.

Toplam yıllık maliyet:

$$TC(Q) = \frac{D \cdot S}{Q} + \frac{Q \cdot (1 - d/p) \cdot H}{2}$$

$Q$‘ya göre türevi alıp sıfıra eşitleyip çözünce:

$$Q^* = \sqrt{\frac{2 \cdot D \cdot S}{H \cdot (1 - d/p)}}$$

Bu formül EPQ’nun kapalı-form çözümüdür. $(1 − d/p)$ çarpanı paydada olduğu için, EPQ’nun optimum parti boyu EOQ’dan büyüktür. Üretim hızı sonsuza yaklaşırken çarpan 1’e yaklaşır ve EPQ matematiksel olarak EOQ’ya indirgenir; $p \to \infty$ limitinde aynı formül.

EOQ ile aynı zarif özellik EPQ’da da geçerli: optimum noktada kurulum maliyeti taşıma maliyetine eşittir. Türevin sıfır olmasının doğrudan sonucudur.

Tepe stok ve ortalama stok

EPQ’nun pedagojik anahtarı şudur: tüm Q birim aynı anda stoğa girmediği için tepe stok asla $Q$ kadar olmaz. Üretim fazında $p − d$ hızla artar, $Q/p$ kadar gün sürer:

$$I_{\max} = (p - d) \cdot \frac{Q}{p} = Q \cdot \left(1 - \frac{d}{p}\right)$$

Ortalama stok lineer üçgenin yarısıdır:

$$\bar{I} = \frac{I_{\max}}{2} = \frac{Q \cdot (1 - d/p)}{2}$$

Bu küçülmüş ortalama stok, taşıma maliyetini EOQ’ya göre düşürür ve formülün $(1 − d/p)$ çarpanını verir.

EOQ ile sayısal karşılaştırma

Aynı parametrelerle iki modelin sonuçlarını yan yana görmek farkı somutlaştırır. $D = 1000, S = 10, H = 2$ alalım.

Üretim hızı $p$	EOQ $Q^*$	EPQ $Q^*$	Tepe stok	Toplam maliyet
$\infty$ (anlık)	100.00	100.00	100.00	200.00
10 000	—	105.41	94.87	189.74
4 000	—	115.47	86.60	173.20
2 000	—	141.42	70.71	141.42
1 200	—	244.95	40.82	81.65

Görüldüğü gibi üretim hızı talep oranına yaklaştıkça optimum parti boyu büyüyor (çevrimi daha az sıklıkta kurmaya değer) ama tepe stok küçülüyor (üretim ile tüketim çok yakın hızlarda). Toplam yıllık maliyet de düşüyor: sürekli akan üretim bandında envanter sıkıntısı daha az.

EPQ’nun uygulama alanları

EPQ özellikle fabrika içi üretim kontrolünde vazgeçilmezdir.

Otomotiv: Pres atölyesinin gövde panellerini ürettiği partilerin büyüklüğü EPQ ile planlanır. Kalıp değişimi 30-90 dakika sürdüğü için S yüksek; H ise nispeten düşük (yarı mamul deposu görece ucuz). Sonuçta partiler büyük, çevrimler seyrek olur.

Beyaz eşya: Buzdolabı kapı kapasiteleri, çamaşır makinesi tamburları gibi yarı mamuller hattan farklı bir hızla üretilip aynı hatta ana montaja beslenir. EPQ ile her yarı mamulün optimum parti boyu bulunur.

Gıda üretimi: Pizza hamurları, ekmek üretiminde fırın bir partilik üretim yapar (örneğin 200 hamur), sonra duraklar. Müşteri talebi sabit, üretim kesikli. Klasik EPQ uygulaması.

İlaç üretimi: GMP kuralları nedeniyle kalıp ve formül değişimleri uzun temizlik süreleri gerektirir; kurulum maliyeti çok yüksektir. EPQ ile partiler büyük tutulur, çevrim seyrek olur.

3D baskı ve dijital üretim: Üretim hızı sınırlı; EPQ ile her modelin optimum baskı parti büyüklüğü hesaplanır.

Yalın üretim ile ilişki

EPQ klasik bir model olsa da modern yalın üretim felsefesiyle ilginç bir gerilim içinde duruyor.

Toyota Production System ve onun türevi yalın yaklaşımlar küçük parti üretim ister: tek parça akışına yakın, kanban ile çekiş, JIT (just-in-time) teslimat. Bu hedef EPQ’nun büyük parti optimumuyla doğrudan çatışır gibi görünür.

Gerçekte ise yalın felsefe S’i düşürerek EPQ’yu küçük parti yönüne kaydırır. SMED (Single-Minute Exchange of Die) metodolojisi makine değişim sürelerini saatlerden dakikalara indirir. S düştükçe EPQ formülü gereği $Q^*$ küçülür; küçük parti ekonomik hâle gelir. Yani yalın üretim EPQ’yu reddetmez — formülün girdisini değiştirerek optimum noktayı kaydırır.

Türkçe pratik: bir Toyota fabrikasında pres kalıbı değişimi 3 dakikaya indirilmişse, EPQ ile optimum partiniz 50 birim çıkabilir; aynı pres geleneksel 2 saatlik değişimle yönetildiğinde optimum parti 2000 birime çıkar. İki sonuç da EPQ’ya uygundur; fark yalnızca girdi parametresinde.

EPQ varyantları

EPQ’nun varsayımlarını gevşeten birçok varyant vardır.

EPQ with backorders

Eksik stok izinli olduğunda formül değişir; backorder maliyeti $b$ eklenir. Optimum partide $Q$ büyüklüğüyle birlikte maksimum backorder miktarı $B$ de optimize edilir. Pratikte siparişlerin ertelenebildiği endüstriyel ortamlarda kullanılır.

EPQ with quantity discounts

Hammadde tedarikçisi miktar indirimi sunuyorsa EOQ-D mantığı EPQ’ya da uygulanır; her indirim seviyesinde EPQ ayrı hesaplanır.

Multi-product EPQ (ELSP)

Economic Lot Scheduling Problem: aynı makinede üretilen birden fazla ürünün ortak çevrim planlaması. Her ürünün kendi $D$, $S$, $H$, $p$ değeri var; tek bir kapasite paylaşıyorlar. NP-zor bir problem; heuristikler (common cycle, basic period) ile çözülür.

Stochastic EPQ

Talep belirsizse EOQ’da güvenlik stoğu eklendiği gibi EPQ’da da benzer genişletmeler vardır. Lead time olmadığı için klasik “reorder point” kavramı yerine üretim tetikleme eşiği gelir.

EPQ with imperfect quality

Üretim hatalı parça çıkarıyorsa (örneğin %p hata oranı) etkin üretim hızı azalır; formül buna göre güncellenir. Modern üretimde 6 sigma uygulamalarının yan ürünüdür.

Sayısal bir örnek üzerinden gidelim

Bir küçük metal işleme atölyesi düşün:

• Yıllık talep $D = 5000$ aluminyum profil
• Üretim kapasitesi $p = 20\,000$ profil/yıl (talebin 4 katı)
• Kurulum maliyeti $S = 200$ ₺/parti (kalıp ayarı, ilk parça onayı)
• Taşıma maliyeti $H = 8$ ₺/profil/yıl

EPQ formülünü uygula:

$$Q^* = \sqrt{\frac{2 \cdot 5000 \cdot 200}{8 \cdot (1 - 5000/20000)}} = \sqrt{\frac{2\,000\,000}{6}} \approx 577 \text{ birim}$$

Karşılaştırma için aynı parametrelerle EOQ olsaydı:

$$Q^*_{\text{EOQ}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5000 \cdot 200}{8}} = \sqrt{250\,000} = 500 \text{ birim}$$

EPQ optimum partisi EOQ’dan %15 büyük. Sayısal sonuçlar:

• Tepe stok $I_{\max} = 577 \cdot 0.75 \approx 433$ birim
• Üretim fazı uzunluğu: $577 / 20\,000 \cdot 365 \approx 10.5$ gün
• Çevrim uzunluğu: $577 / 5000 \cdot 365 \approx 42.1$ gün
• Tüketim fazı: $42.1 - 10.5 \approx 31.6$ gün
• Yıllık kurulum maliyeti: $5000 \cdot 200 / 577 \approx 1733$ ₺
• Yıllık taşıma maliyeti: $433 \cdot 8 / 2 \approx 1733$ ₺ (eşit, EPQ imzası)
• Toplam yıllık maliyet: $\approx 3466$ ₺

Pratik karar: 10-11 günlük üretim koşusuyla yaklaşık 577 birim üret, sonra yaklaşık 32 gün makineyi başka işe (ya da bakıma) ayır, sonra yeniden başla.

Bu hesabı bu sitenin EPQ Hesaplayıcı aracında girip toplam maliyet eğrisini ve stok profilini de görsel olarak inceleyebilirsin.

Yaygın hatalar ve kaçınma yolları

EPQ uygulamasında sık karşılaşılan tipik hatalar var.

Birinci hata — yanlış model seçimi. Tedariğin tek seferde geldiği durumda EPQ yerine EOQ kullanılmalı; aksi takdirde gereksiz karmaşa. Tersine fabrika içi üretimde EOQ kullanırsanız tepe stoğu olduğundan büyük varsayarsınız ve gerçekten daha küçük partiler kurarsınız; kurulum maliyeti şişer.

İkinci hata — kapasite ile üretim hızını karıştırmak. $p$ teorik maksimum değil, sürekli sürdürülebilir gerçek üretim hızıdır. OEE (Overall Equipment Effectiveness) %70 ise nominal hızı 0.7 ile çarpıp $p$ olarak kullan. Aksi takdirde gerçekleşmeyen kapasiteye göre plan yaparsın.

Üçüncü hata — kurulum maliyetini eksik tahmin etmek. S’e dahil edilmesi gerekenler: makine duruşunun fırsat maliyeti, ilk birim kontrolleri, hat üzerinde kaybedilen ham madde, operatör hazırlık. Çoğu işletme yalnızca işçilik saatini sayar; gerçek S 2-5 kat yüksektir.

Dördüncü hata — $(1 − d/p)$ çarpanını unutmak. EOQ formülünü EPQ durumuna uyarlamak isteyen mühendisler bazen $(1 − d/p)$ çarpanını paydaya eklemeyi unutur. Sonuçta optimum parti olduğundan küçük çıkar, kurulum maliyeti şişer. Aracımız bu hataya düşmez çünkü formülü doğrudan EPQ’ya göre yazılmıştır.

Beşinci hata — küçük talep / büyük üretim hızı durumunda EPQ ısrarı. $p \gg D$ ise (üretim talebin 100 katı gibi) EPQ ve EOQ pratik olarak aynı sonucu verir; ek karmaşıklığa girmeye değmez. Bu durumda doğrudan EOQ ile hesapla.

Sonuç

EPQ, EOQ’nun doğal kuzenidir: tedariğin anlık olmadığı, sabit hızla geldiği durumların kapalı-form çözümüdür. Üretim hızı $(1 − d/p)$ çarpanı ile formüle girer; bu çarpan optimum parti boyunu büyütür, tepe stoğu küçültür ve toplam maliyeti düşürür.

Pratik fabrika ortamlarında EPQ, üretim parti planlamasının matematiksel temelidir. Modern yalın üretim felsefesi EPQ’yu reddetmek yerine kurulum maliyetini düşürerek optimum noktayı küçük parti yönüne kaydırır. Her iki yaklaşım da EPQ’nun temel mantığına sadık kalır.

Bu sitenin EPQ Hesaplayıcı aracı klasik modelin tam karşılığını sunar; toplam maliyet eğrisi ve bir çevrimdeki stok profili formülün arkasındaki sezgiyi pekiştirir. Klasik EOQ ile karşılaştırmak için EOQ rehberini ve EOQ Hesaplayıcı aracını da incelemek faydalı olur.

İleri seviye akademik referans için Tersine ve Silver/Pyke/Peterson gibi envanter teorisi standartlarına bakılabilir; endüstriyel pratik için APICS sertifikasyon eğitimleri (CPIM, CSCP) kapsamlı bir yol sunar.

Sıkça sorulanlar

EPQ ile EOQ arasındaki temel fark nedir?

EOQ tedariğin anlık olduğunu varsayar: sipariş verirsin, tüm miktar bir anda stoğa girer. EPQ ise tedariğin sabit bir üretim hızı p ile geldiğini varsayar; üretim devam ederken talep de eş zamanlı tüketim yapar, dolayısıyla tepe stok asla Q kadar olmaz. Üretim oranı sonsuza giderken EPQ formülü matematiksel olarak EOQ'ya indirgenir.

EPQ formülündeki (1 − d/p) çarpanı ne anlama gelir?

Üretim fazı boyunca her birim üretildiğinde anında bir miktar d/p kadarı tüketilir. Net olarak stoğa yansıyan birim oranı (1 − d/p). Bu çarpan tepe stoğu, ortalama stoğu ve dolayısıyla taşıma maliyetini küçültür. Sonuç olarak optimum parti büyüklüğü EOQ'dan daha büyük çıkar — aynı oranda üretim çevriminden daha fazla yararlanılır.

EPQ ne zaman EOQ yerine kullanılmalı?

İçeride üretilen ve tüketilen ürünlerde EPQ uygundur: fabrika içi ara mamul, yarı mamul, kendi ürettiğin ambalajı gibi. Tedarikçiden tek seferde teslim alınan ürünler için EOQ yeterli. Ölçek olarak üretim hızı talebin 2-10 katı arasındaysa EPQ ile EOQ arasında belirgin fark çıkar; üretim talebin 100 katından hızlıysa EPQ pratik olarak EOQ ile aynı sonucu verir.

Üretim hızı talepten küçükse ne olur?

p ≤ d ise sistem fiziksel olarak talebi karşılayamaz: ne kadar üretirsen üret, stok birikmez, tam tersine açık kalır. EPQ modeli bu durumda anlamsız hâle gelir. Aracımız bu kombinasyonu reddederek hata gösterir; gerçek dünyada kapasite artırımı (ek vardiya, yeni hat) ya da talebin azaltılması düşünülmelidir.

EPQ formülünde kurulum (setup) maliyeti tam olarak ne içerir?

Kurulum maliyeti S, bir üretim partisi başlatmak için ödenen sabit maliyetlerin toplamıdır: makine değişimi (changeover), kalıp/aparat değişimi, hat temizliği, ilk parça onayı, operatör hazırlık süresi. Üretim miktarından bağımsızdır; sadece kaç parti çalıştırıldığına bağlıdır. SMED gibi yalın üretim teknikleri tam olarak S'i düşürmeyi hedefler — S düşünce optimum parti boyu küçülür, esneklik artar.