Newsvendor Modeli: Tek Dönemlik Sipariş Kararı

Bir gazete bayii her sabah dağıtımcıdan kaç gazete almalı? Az alırsa müşteri kaçar; çok alırsa akşam iade edilemeyen gazete zarar yazılır. Talep tam olarak bilinmiyor — sadece geçmiş verilerden bir dağılım tahmin edilebiliyor. Klasik EOQ modeli bu soruyu cevaplayamaz: EOQ talebin sabit olduğunu varsayar. Newsvendor modeli tam olarak bu belirsizliği modele alır ve tek-dönemlik sipariş kararı için kapalı-form bir çözüm verir.

Karar rehberi: Newsvendor'ı EOQ, EPQ, Wagner-Whitin ve (Q, R) ile karşılaştırıp hangi durumda hangisini seçeceğini görmek için Hangi envanter modeli ne zaman? rehberine bakabilirsin.

Newsvendor problemi nedir?

Newsvendor (Türkçe literatürde bazen "gazete satıcısı problemi") üç karakteristikle tanımlanır:

1. Tek dönem. Ürün bir kere sipariş edilir; ikinci bir şans yoktur. Dönem sonunda kalan stok bir sonraki döneme aktarılamaz (sezonluk giyim, taze meyve, gazete, konser bileti, otel odası, uçak koltuğu).
2. Belirsiz talep. Talep $D$ rastgele bir değişkendir; dağılımı $F(\cdot)$ ile bilinir ama gerçek değeri sipariş kararı verildikten sonra ortaya çıkar.
3. Asimetrik maliyet. Az sipariş vermenin (eksik) ve fazla sipariş vermenin (fazla) maliyetleri farklıdır. Karar bu iki riski dengelemektir.

Karar değişkeni sipariş miktarı $Q$'dur. Amaç: beklenen toplam maliyeti minimize etmek (ya da denk olarak beklenen kârı maksimize etmek).

Underage ve overage maliyetleri

Modelin çekirdek iki büyüklüğü:

• $C_u$ (underage cost, eksik maliyeti): Talep siparişi aştığında, karşılayamadığın her birim için ödediğin marjinal zarar. Genelde kaçırılan brüt kârdır: $C_u = p - c$. Müşteri kaybı, imaj erozyonu gibi ek "goodwill" cezası $g$ varsa $C_u = p - c + g$.
• $C_o$ (overage cost, fazla maliyeti): Talep siparişin altında kaldığında, elinde kalan her birim için maruz kaldığın marjinal zarar. Alım maliyetinden hurda değerini çıkarırsın: $C_o = c - s$. Hurda değeri $s$ dönem sonu satabildiğin fiyat: iade anlaşmalı gazetede $s = c$ (kayıp yok), sezonluk giyimde $s$ outlet fiyatıdır, taze meyvede $s = 0$ (çöpe gider).

Aracımız iki modu destekler: doğrudan $C_u / C_o$ giriş veya fiyat modelinden türetme (p, c, s, g'yi girip Cu ve Co otomatik hesaplansın).

Critical fractile: F(Q*) = Cu / (Cu + Co)

Newsvendor'un ünlü sonucu, marjinal analiz argümanıyla türetilir. Şu soruyu soralım: son birimi eklemek uygun mu?

Siparişi $Q$'dan $Q + 1$'e çıkarttığımızda iki senaryo var:

• Talep $D \geq Q + 1$: son birim satılır, $p - c$ kâr getirir. Bu senaryoya girme olasılığı $1 - F(Q)$.
• Talep $D < Q + 1$: son birim satılamaz, $c - s$ zarar yazar. Olasılık $F(Q)$.

Son birimin beklenen katkısı:

$$\Delta(Q) = (p - c)\,\bigl(1 - F(Q)\bigr) \;-\; (c - s)\,F(Q).$$

$\Delta(Q^*) = 0$ olduğu noktada durmak gerekir (kritik nokta). Cu ve Co notasyonuyla:

$$C_u\,\bigl(1 - F(Q^*)\bigr) = C_o\,F(Q^*).$$

Düzenlersek meşhur formül:

$$\boxed{\; F(Q^*) \;=\; \frac{C_u}{C_u + C_o} \;=\; CR.\;}$$

Sağ tarafa critical ratio ya da critical fractile denir. Sipariş miktarı öyle seçilir ki talebin siparişi karşılama olasılığı tam olarak CR olsun.

Sezgi

• $C_u \gg C_o$ ise (kaçırılan kâr, hurda kaybından büyükse): $CR \to 1$, $Q^*$ ortalamanın çok üstüne çıkar. Yüksek marjlı, hurdası değersiz olmayan ürünlerde (ör. iade anlaşmalı gazete) böyledir.
• $C_u \ll C_o$ ise (dayanıksız, hurdası düşük, marjı ince ürün): $CR \to 0$, $Q^*$ ortalamanın altına iner. Balıkçının stratejisi.
• $C_u = C_o$ ise: $CR = 0.5$, medyan optimaldir. Simetrik dağılımda medyan = ortalama.

Normal talep altında kapalı form

Talep $D \sim N(\mu, \sigma^2)$ ise ters CDF Standard normal ters fonksiyonu $\Phi^{-1}$ ile yazılır:

$$Q^* = \mu + \Phi^{-1}(CR)\,\sigma.$$

Bazı kritik oranlar için hazır $z$ değerleri:

| CR | $z = \Phi^{-1}(CR)$ | Yorum | |---|---|---| | 0.50 | 0.000 | ortalama | | 0.75 | 0.674 | ortalama + 0.67σ | | 0.84 | 1.000 | ortalama + 1σ | | 0.90 | 1.282 | tipik hedef | | 0.95 | 1.645 | yüksek servis | | 0.99 | 2.326 | çok yüksek servis | | 0.999 | 3.090 | ultra servis |

Uyarı — servis seviyesi asimetriktir: CR'yi %95'ten %99'a çıkarmak sadece 4 puanlık bir iyileşme gibi görünür, ama gerekli emniyet stoğu $1.645\sigma$'dan $2.33\sigma$'ya, yani %42 artar. %99'dan %99.9'a çıkışta ise emniyet stoğu tekrar %33 daha büyür. Yüksek servis seviyeleri pahalıdır.

Beklenen eksik ve fazla — standart normal kayıp fonksiyonu

Talep normal ise $Q^* = \mu + z\sigma$ noktasında beklenen büyüklükler kapalı formda hesaplanır. Standart normal kayıp fonksiyonu:

$$L(z) = \varphi(z) - z\,\bigl(1 - \Phi(z)\bigr),$$

burada $\varphi$ standart normal PDF'dir. Beklenen eksik ve fazla:

$$E[\text{eksik}] = \sigma \cdot L(z), \qquad E[\text{fazla}] = Q^* - \mu + \sigma \cdot L(z).$$

Bu iki büyüklük Q duyarlılık analizinin bel kemiğidir; aracımız grafikte $C_u \cdot E[\text{eksik}](Q)$ (kırmızı), $C_o \cdot E[\text{fazla}](Q)$ (mavi) ve toplam beklenen maliyet eğrilerini çizer.

Üniform talep altında kapalı form

Talep $D \sim U(a, b)$ ise F(Q) = (Q − a) / (b − a). Ters çevirme neredeyse önemsiz:

$$Q^* = a + (b - a) \cdot CR.$$

Kolay örnek: talep 200 ile 500 arasında üniform, CR = 0.75 ise $Q^* = 200 + 300 \cdot 0.75 = 425$.

Beklenen eksik ve fazla üniform için ikinci dereceden polinomdur:

$$E[\text{eksik}] = \frac{(b - Q)^2}{2(b - a)}, \qquad E[\text{fazla}] = \frac{(Q - a)^2}{2(b - a)}.$$

Bir baştan sona örnek: sezonluk kalınbot

Bir mağaza kışlık kalınbot sipariş verecek:

• Alım maliyeti $c = 30$ ₺, satış fiyatı $p = 80$ ₺, sezon sonu outlet fiyatı $s = 15$ ₺. Goodwill cezası ihmal edilebilir ($g = 0$).
• Talep tahmini: geçmiş sezon 12 mağaza verisinden ortalama $\mu = 350$, standart sapma $\sigma = 90$ (normal varsayımı).

Cu ve Co'yu türet:

$$C_u = p - c + g = 80 - 30 + 0 = 50 \;\text{₺/birim},\\ C_o = c - s = 30 - 15 = 15 \;\text{₺/birim}.$$

Critical ratio:

$$CR = \frac{50}{50 + 15} = \frac{50}{65} \approx 0.769.$$

Normal tabloda $\Phi^{-1}(0.769) \approx 0.735$. Optimum sipariş:

$$Q^* = 350 + 0.735 \cdot 90 \approx 350 + 66 = 416 \;\text{çift}.$$

Beklenen eksik: $L(0.735) \approx 0.128$; $E[\text{eksik}] = 90 \cdot 0.128 \approx 11.5$ çift. Beklenen fazla: $416 - 350 + 11.5 = 77.5$ çift. Kabul edilebilir mi? Fill rate = (350 − 11.5) / 350 ≈ %96.7 — müşterilerin %96.7'sini karşılıyoruz.

Ortalama sipariş etseydik ($Q = 350$): beklenen eksik $\sigma \cdot L(0) = 90 \cdot 0.399 \approx 35.9$, beklenen maliyet çok daha yüksek olurdu (fill rate düşer, kaçırılan kâr artar). $C_u > C_o$ olduğu için ortalama üstünde stoklamak doğru refleks.

Aracı adım adım kullanmak

1. Maliyet modelini seç. İki yoldan biri: doğrudan $C_u$ / $C_o$ veya fiyat-maliyet ($p$, $c$, $s$, $g$). Yeni analiz için fiyat modu daha okunaklıdır.
2. Talep dağılımını seç. Normal (ortalama + std. sapma) veya üniform (alt + üst). Küçük veri setinde normal genellikle güvenli bir başlangıçtır.
3. Hesapla. Q* yeşil kartta, kritik oran ve servis seviyesi metrik şeridinde, Q duyarlılığı U-eğrisi grafikte belirir. Eğrinin Q* civarındaki düz kısmı, tahminlerdeki küçük hataların maliyet olarak ne kadar zararlı olduğunu görsel olarak gösterir.
4. Duyarlılık. Talep std. sapmasını iki katına çıkarıp tekrar hesapla — Q* nasıl kaydı? σ arttıkça emniyet stoğu doğrusal olarak büyür.

Model varsayımlarına dair kritik notlar

Talep dağılımını yanlış tahmin etmek daha yıkıcıdır. Model doğru formülü verse bile, $\sigma$ %50 yanlış tahminleniyorsa Q* de aynı oranda hatalıdır. Newsvendor'da sağlıklı sonuç için önce verinin kalitesi gerekir: en az bir-iki sezonluk gözlem, mevsimsellik ve trend gibi bileşenlerin ayrılması, aykırı değerlerin işaretlenmesi.

Talep sipariştan bağımsız olmayabilir. Klasik newsvendor talebin sipariş miktarından etkilenmediğini varsayar. Ama vitrindeki mal azaldıkça satış hızının düşmesi (broken-assortment etkisi) yaygın bir olgudur. Bu durumda düzeltme faktörü ile $\mu$'yü aşağı yönlü kaydırmak gerekir.

Hurda değeri sabit değildir. Sezon sonu outlet fiyatı, gerçekte kalan stok miktarına bağlıdır (arz-talep dengesi). Basit modelde sabit varsayılır; ileri modeller (multi-period markdown pricing) bu dinamiği modele katar.

Tek dönem varsayımı ne zaman kırılır? Aslında pek çok "tek dönemlik" ürün için ikinci bir dönem vardır: sonraki sezonda outlet mağazasında satılmaya devam eder. Bu durumda gerçek $s$, tam bir tasfiye fiyatı yerine "beklenen ikinci dönem geliri"dir.

EOQ, güvenlik stoku ve newsvendor: aynı ailenin üç yüzü

Üç model de envanter kararı verir ama farklı sorulara cevap:

• EOQ: Talep sabit, sipariş sürekli. Soru: her sipariş kaç birim? Cevap: $Q^* = \sqrt{2DK/h}$.
• (Q, R) sürekli gözden geçirme + güvenlik stoku: Talep stokastik, sipariş sürekli. Soru: yeniden sipariş noktası R ne olmalı? Cevap: $R = \mu_L + z_\alpha \sigma_L$, α hedef servis seviyesi.
• Newsvendor: Talep stokastik, sipariş tek dönem. Soru: dönem başı ne kadar sipariş? Cevap: $F(Q^*) = C_u / (C_u + C_o)$.

Aslında (Q, R) modelinin güvenlik stoğu newsvendor'un gizli halidir: tedarik süresi $L$ boyunca talep aşımı riski, tek-dönem newsvendor mantığıyla emniyet stoğuna dönüşür. Optimum servis seviyesi α'nın aslında $C_u / (C_u + C_o)$ olması gerektiği çoğu kitapta ayrı bir bölüm gerektirir; newsvendor bu köprüyü tek bir formülle kurar.

Sık karşılaşılan hatalar

• Ortalama talep = optimum sipariş sanmak. Sadece $C_u = C_o$ olduğunda doğru. Uygulamada nadirdir.
• Hurda değeri sıfır varsaymak. İade anlaşması varsa $s = c$'dir, outlet varsa $s > 0$'dır. Gerçek $s$ bilinmeden Cu/Co doğru hesaplanmaz.
• Goodwill kaybını atlamak. Sadık müşteri kaybının parasal karşılığı Cu'nun içine girmelidir. Çoğu perakendecide $g$ tahmini bile $g = 0$ varsaymaktan iyidir.
• Servis seviyesini fill rate ile karıştırmak. Yönetim %99 fill rate isterken ekip %99 servis seviyesi hedefi kurarsa gereksiz stok taşınır. İki metrik farklı; hangisinin optimize edildiğini net yaz.
• Newsvendor'u çoklu dönem ürüne uygulamak. Aynı SKU her hafta sipariş ediliyor ve kalan stok bir sonraki haftaya kayıyorsa newsvendor değil, base-stock ya da (s, S) modeli gerekir.

Küçük tarih ve modern uzantılar

Klasik formül Kenneth Arrow, Theodore Harris ve Jacob Marschak'ın 1951 tarihli "Optimal Inventory Policy" çalışmasına dayanır; ama 1888'de Francis Edgeworth'ün kar (kâr) risk modelinde ilkel biçimiyle görünür. "Gazete satıcısı" adlandırması yaygınlaştıktan sonra literatür şu genişlemeleri üretti:

• Multiple products, ortak bütçe kısıtı: newsvendor'ın Lagrange çarpanıyla ölçekli versiyonu.
• Risk-averse newsvendor: karar vericinin CVaR ya da fayda fonksiyonu ile riski cezalandırdığı hâl.
• Belirsiz dağılım (distribution-free): sadece $\mu$ ve $\sigma$ bilindiğinde min-max regret ile $Q^*$ türetimi (Scarf, 1958).
• Sipariş miktarı iadeli (Buyback) sözleşmeler: tedarikçi sezon sonu kalan stoğu belirli fiyattan geri alır. Newsvendor bu sözleşme parametrelerinin en optimum tasarımına yol gösterir.

Özet

• Karar: tek dönemlik $Q$; belirsizlik: talep $D$.
• Merkezî formül: $F(Q^*) = C_u / (C_u + C_o)$.
• Cu = kaçırılan kâr + goodwill; Co = alım maliyeti − hurda değeri.
• Normal talep: $Q^* = \mu + \Phi^{-1}(CR) \cdot \sigma$; standart kayıp fonksiyonu ile eksik/fazla kapalı formda.
• Üniform talep: $Q^* = a + (b-a) \cdot CR$; polinom kayıp.
• Q duyarlılık eğrisi U-şeklinde ve Q* civarında düz — kestirimlerdeki küçük hatalara toleranslı.
• EOQ ile karışmasın: farklı sorular, farklı formüller; ama emniyet stoğu üzerinden kavramsal olarak akrabalar.

Newsvendor, yöneylem araştırmasının en zarif kapalı-form sonuçlarından biridir: tek satırlık formül, arkasında marjinal analiz sezgisi ve yarım asırlık literatür. Aracımız formülü tarayıcıda anında hesaplar; sen model varsayımlarına ve verinin kalitesine odaklanabilirsin.

Sıkça sorulanlar

Newsvendor modeli nedir?

Talebin belirsiz olduğu, ürünün tek bir dönem için sipariş edildiği ve dönem sonunda kalan stoğun değer kaybına uğradığı klasik envanter problemidir. Adını 19. yüzyıl gazete bayilerinden alır: bayi sabah gazeteyi tahminine göre alır, gün sonunda satılamayan gazete iade edilemez, gerçek satış talebi kadardır. Karar: `Q` sipariş miktarı. Beklenen maliyeti minimize eden Q*'a critical fractile çözümü denir.

Critical fractile formülü F(Q*) = Cu / (Cu + Co) nereden geliyor?

Marjinal analiz argümanı: son eklenen birimin beklenen faydası ile beklenen zararı eşit olmalı. Birim ekstra siparişin beklenen zararı Co · P(D < Q) — talep bu seviyenin altındaysa satamıyoruz. Beklenen faydası Cu · P(D ≥ Q) — talep bu seviyenin üstündeyse ek birim eksik kalmıyor. Eşitleyip Cu · (1 − F(Q)) = Co · F(Q) çözünce F(Q*) = Cu / (Cu + Co) çıkar.

Cu (underage) ve Co (overage) nasıl hesaplanır?

İki yol var. **Doğrudan giriş:** Cu = birim başına eksik kalmanın fırsat maliyeti, Co = birim başına satılamayanın zararı. **Fiyat modelinden türetme:** satış fiyatı p, alım maliyeti c, hurda değeri s (default 0), goodwill/ceza g (default 0) ile: Cu = p − c + g (kaçırılan brüt kâr artı ceza), Co = c − s (satılamayanın net zararı). Hurda değeri satamadığın malı elden çıkardığın fiyattır; iade anlaşmalı gazetelerde s = c olabilir, sezonluk ürünlerde s ≪ c.

Newsvendor ile EOQ arasındaki fark nedir?

EOQ deterministik ve sürekli-dönem modelidir: talep sabit, sipariş sürekli yenileniyor, sipariş verme maliyeti K ve taşıma maliyeti h vardır. Karar noktası tek: sipariş büyüklüğü Q. Newsvendor ise stokastik ve tek-dönemdir: talep rastgele bir değişken, sipariş dönem başında bir kere veriliyor, sipariş verme maliyeti önemli değil, yerine underage/overage maliyet asimetrisi var. Newsvendor riski (talebin dağılımını) modelin özüne alır; EOQ risk yönetimini emniyet stoğuna dış-parametreye bırakır.

Neden ortalama talebi sipariş etmek yanlış?

Talep dağılımı simetrik değildir asıl mesele — hata da simetrik değildir. Cu ile Co eşit olsaydı (CR = 0.5), gerçekten ortalama optimal olurdu. Ama gerçek hayatta çoğunlukla değil: yüksek marjlı sezonluk üründe Cu ≫ Co, ortalama üstünde sipariş vermek gerekir; hurda değeri düşük dayanıksız üründe Co ≫ Cu, ortalama altında sipariş vermek gerekir. Ortalama sipariş etmek, sistematik olarak yanlış tarafta hata yapmak demektir. Sadece CR = 0.5 durumunda ortalama optimalidır.

Servis seviyesi (Type I) ile fill rate (Type II) arasındaki fark nedir?

**Servis seviyesi (cycle service level)** = F(Q*) = talebin siparişi aşmama olasılığıdır. Newsvendor'da doğrudan critical ratio'ya eşittir. **Fill rate** = E[min(Q, D)] / E[D] = talebin ortalamada kaçta kaçının stoktan karşılanabildiğidir. Fill rate her zaman servis seviyesinden daha yüksektir çünkü stok yetmediği durumlarda bile talebin bir kısmı karşılanıyor. Süpermarketler genellikle %98–99 fill rate hedefler, ki bu %90 civarı bir servis seviyesine karşılık gelir.

Normal talep için optimum sipariş miktarı nasıl bulunur?

Talep D ∼ N(μ, σ²) ise F(Q*) = CR eşitliğinden Q* = μ + Φ⁻¹(CR) · σ çıkar; burada Φ⁻¹ standart normal ters CDF'dir. CR = 0.5 → Q* = μ (ortalama). CR = 0.84 → Q* ≈ μ + σ. CR = 0.95 → Q* ≈ μ + 1.645σ. CR = 0.99 → Q* ≈ μ + 2.33σ. Kritik oran arttıkça, satırın üstündeki emniyet stoğu z·σ hızla büyür — hedef %99'a ulaşmak %90'dan iki kat pahalıdır.

Talep dağılımı normal değilse ne yapmalı?

Newsvendor mantığı dağılımdan bağımsızdır; formül aynı kalır: F(Q*) = CR. Sadece F ters çevirmek gerekir. **Üniform** için kapalı form var: Q* = a + (b − a)·CR. **Lognormal, gamma, Weibull** için ters CDF sayısal olarak hesaplanır. **Ampirik** talep verisi varsa CR-inci yüzdelik doğrudan sıralı gözlemden okunabilir — parametrik bir varsayıma girmeye gerek yok. Küçük örnek varyansında normal yaklaşımı çoğu zaman yeter.

Q duyarlılık eğrisi neden U-şeklindedir?

Beklenen toplam maliyet TC(Q) = Cu · E[eksik(Q)] + Co · E[fazla(Q)]. E[eksik] Q'ya göre monoton azalan, E[fazla] Q'ya göre monoton artan konveks fonksiyonlar. İkisinin ağırlıklı toplamı da konvekstir ve minimumu tam olarak F(Q*) = CR noktasındadır. Eğri Q*'a yakın 'düz' — %5 sapma maliyeti kayda değer artırmıyor. Bu robustluk, kestirimlerdeki küçük hataların yıkıcı olmadığını gösterir; ama Q* çok sağa veya çok sola giderse maliyet doğrusal-üstü büyür.