Yeniden Sipariş Noktası (ROP) ve Emniyet Stoğu

Klasik EOQ modeli talep sabittir sanar; gerçek hayatta talep dalgalanır, tedarikçi gecikir, gemi limanda beklerdi. Bir mağazanın stok defterine bakan yönetici aslında iki soruyu birlikte cevaplamak zorundadır: Ne kadar sipariş edeyim? (lot büyüklüğü Q) ve Ne zaman sipariş edeyim? (yeniden sipariş noktası R). Bu ikisinin bileşimine kısaca (Q, R) modeli ya da sürekli-izleme sistemi denir. Bu rehberde R ve emniyet stoğunun türetimi, tedarik süresi belirsizliğinin kombine varyansla nasıl modele girdiği, Type-I / Type-II servis seviyesi ayrımı ve EOQ ile birlikte toplam yıllık maliyet üzerine yoğunlaşacağız.

Karar rehberi: (Q, R) modelini EOQ, EPQ, Newsvendor ve Wagner-Whitin ile karşılaştırıp hangi durumda hangisini seçeceğini görmek için Hangi envanter modeli ne zaman? rehberine bakabilirsin.

Sürekli-izleme (Q, R) modeli nedir?

Süpermarkette bir raf düşünelim: kasa yazarları anlık olarak stok düzeyini biliyor. Sistem tanımlı bir eşik değeri R var; stok bu seviyeye düştüğü anda tedarikçiye sabit büyüklükte bir sipariş gönderiliyor. Sipariş verildikten sonra tedarik süresi L boyunca yeni mal gelmiyor; bu sürede talep açığa çıkarsa emniyet stoğundan karşılanır. Mal geldiğinde stok yeniden Q + SS seviyesine sıçrar ve döngü baştan başlar. Bu klasik "testere dişi" desen, sürekli-izleme + sabit sipariş büyüklüğü + rasgele talep + rasgele tedarik süresi varsayımlarıyla tanımlanır.

Alternatif model **periyodik-inceleme (R, T)**dir: her T dönem başında stoğa bakılır ve hedef seviyeye tamamlanacak kadar sipariş verilir. Q sabit değildir; her siparişte farklı bir miktar sipariş edilir. Perakende kolileme ekonomilerinde ve MRP nervousness kontrolünde (R, T) yaygındır; sürekli-izleme ise POS ve barkod sistemleriyle birlikte 1970'lerden sonra egemen oldu.

Neden emniyet stoğuna ihtiyaç var?

Diyelim ortalama günlük talep μ_d = 100 birim ve tedarik süresi L = 4 gün (sabit). Beklenen tedarik-süresi talebi μ_d · L = 400 birim. Eğer R = 400 seçersek, sipariş verildikten sonra tedarik süresi boyunca gelecek gerçek talep ortalama olarak 400 birim olur. Ama "ortalama" demek zamanların yarısında talebin bunu aştığı demektir. R = 400 ile cycle service level tam olarak %50: iki çevrimden birinde stoksuz kalırız.

Hedef α = %95 için ortalamayı geçmesi olası talep karşılığında bir tampon eklemek gerekir. Bu tampona emniyet stoğu (SS) denir. Talep tedarik süresi boyunca ortalama μ_d · L, standart sapma σ_DL ile normal dağılıyorsa:

$$R = \mu_d \cdot L + z_\alpha \cdot \sigma_{DL}, \qquad SS = z_\alpha \cdot \sigma_{DL}$$

burada z_α = Φ⁻¹(α) standart normal ters CDF'sidir. α = 0.95 → z_α ≈ 1.6449 → SS ≈ 1.6449 · σ_DL. σ_d = 10 birim/gün, L = 4 gün ise σ_DL = √L · σ_d = 20; SS = 32.9 birim; R = 432.9. Yani 33 birimlik bir tampon ile stoksuz kalma olasılığını %50'den %5'e indiriyoruz.

Tedarik süresi belirsizliği: kombine varyans

Modelin en incelikli parçası burasıdır. Tedarik süresi L rasgele bir değişkense — gemi geç geliyor, gümrük takılıyor, tedarikçi vardiyayı kaçırıyor — σ_DL sadece σ_d ile hesaplanamaz. Toplam varyans yasasıyla (law of total variance):

$$\mathrm{Var}(D_L) = E[L] \cdot \mathrm{Var}(d) + (E[d])^2 \cdot \mathrm{Var}(L)$$

yani

$$\sigma_{DL} = \sqrt{L \cdot \sigma_d^2 + \mu_d^2 \cdot \sigma_L^2}.$$

Burada dikkat: μ_d² katsayısı σ_L'nin etkisini büyütür. Talep hacmi büyükse tedarik süresi belirsizliği baskın hâle gelir. Örnek: μ_d = 100 birim/gün, σ_d = 5, L = 10 gün. σ_L = 0 iken σ_DL = √10 · 5 ≈ 15.81. σ_L = 2 gün eklendiğinde σ_DL = √(10·25 + 10000·4) = √40250 ≈ 200.62 — neredeyse 13 kat büyür. Emniyet stoğu tam bu oranda büyür.

Sık yapılan hata σ_L'yi doğrudan σ_DL'ye eklemektir. Bu tamamen yanlıştır — birimleri bile uyuşmaz (σ_L gündür, σ_DL birimdir).

Type-I (cycle service) ve Type-II (fill rate) ayrımı

İki farklı servis-seviyesi tanımı literatürde eşit sıklıkta karşımıza çıkar ve karıştırılırsa yanlış R çıkar.

Cycle service level (α) — bir sipariş çevriminde stoksuz kalmama olasılığı:

$$\alpha = P(D_L \le R).$$

Doğrudan critical ratio: R = μ_d · L + Φ⁻¹(α) · σ_DL.

Fill rate (β) — talebin ortalama olarak kaçta kaçının stoktan karşılandığı:

$$\beta = 1 - \frac{E[\text{stoksuzluk / çevrim}]}{Q} = 1 - \frac{\sigma_{DL} \cdot L(z)}{Q}$$

burada L(z) = φ(z) − z(1 − Φ(z)) standart normal kayıp fonksiyonudur. Fill rate hedefi verildiğinde z ve dolayısıyla R'yi bulmak için L(z) = k = (1 − β) · Q / σ_DL denkleminde z için bisection ile ters çevrim yapılır.

Neden farklıdır? Diyelim çevrim başına 20 birim stoksuz kalıyoruz ve Q = 500 (ortalama çevrim talebi). Fill rate β = 1 − 20/500 = %96 — çok iyi. Ama stoksuz kalma OLAYI hâlâ her çevrimde yaşanıyor — cycle service = %0. Fill rate operasyonel açıdan daha bilgilendiricidir çünkü müşteri memnuniyeti olay sayısına değil karşılanmayan talep miktarına duyarlıdır. Fakat kritik yedek parçada (uçak motoru, iş makinesi) OLAYIN sayısı da önemlidir — orada cycle service uygundur.

Aynı %95 hedef için: cycle service → SS ≈ 33 birim (σ_DL = 20 örnekte); fill rate + Q = 200 → z ≈ 0.85 → SS ≈ 17 birim. Fill rate genelde daha az emniyet stoğu ister — büyük Q "koruyucu" etki yapar.

EOQ ile birlikte toplam yıllık maliyet

Q ve R kararları ayrık gibi görünse de birbirinden bağımsız değildir. Cycle service durumunda R'yi α belirler; ama toplam yıllık maliyet Q'ya bağlıdır ve klasik EOQ formülü hâlâ optimum yaklaşımdır:

$$Q^* = \sqrt{\frac{2 D K}{h}}$$

Toplam yıllık maliyet:

$$TC = \underbrace{\frac{D}{Q} K}_{\text{sipariş}} + \underbrace{\frac{Q}{2} h}_{\text{çevrim envanteri}} + \underbrace{SS \cdot h}_{\text{emniyet stoğu}} + \underbrace{Cu \cdot E[\text{stoksuzluk}] \cdot \frac{D}{Q}}_{\text{opsiyonel: stoksuzluk cezası}}$$

Emniyet stoğunun taşıma maliyeti sabit — Q'ya bağlı değil — ancak servis seviyesi arttıkça hızla büyür. %90 → %99.9 hedefi çevrim envanterine kıyasla emniyet stoğu maliyetini yıllıkta 2-3 katına çıkarabilir.

Sayısal örnek (uygulamada bire bir kullanılabilecek):

• D = 10000 birim/yıl, K = 100 ₺/sipariş, h = 2 ₺/birim/yıl → Q* = √(2·10000·100/2) = 1000
• μ_d = 27.4 birim/gün, σ_d = 5, L = 7 gün, σ_L = 0
• σ_DL = √7 · 5 ≈ 13.23
• α = 0.95 → z = 1.6449 → SS ≈ 21.76 birim → R = 27.4·7 + 21.76 = 213.6
• Yıllık: sipariş (10000/1000)·100 = 1000 ₺, çevrim (1000/2)·2 = 1000 ₺, SS 21.76·2 ≈ 43.5 ₺
• Toplam TC ≈ 2043.5 ₺/yıl

Emniyet stoğu toplam maliyetin %2'sinden azını oluşturur ama stoksuz kalma olasılığını yarıdan %5'e indirir. Bu tipik bir "az yatırım büyük etki" durumudur.

Yaygın 5 hata

1. σ_DL yerine σ_d kullanmak. Tedarik süresi boyunca kümülatif talebin dağılımıdır önemli olan; günlük σ_d değil. Bu hata SS'yi ciddi biçimde küçültür.
2. σ_L'yi doğrudan σ_DL'ye eklemek. Toplam varyans yasası μ_d² katsayısını devreye sokar; birimleri de uyuşmaz. Kombine formülü kullan.
3. α = 1 hedeflemek. z → ∞ demektir. Sıfır stoksuzluk imkânsızdır — siparişleri iptal etmeden hep alacaksın. Realistik hedef %99–99.9.
4. Tedarik-süresi ortalama tahminini nokta olarak kullanmak. σ_L = 0 varsayımı çoğu tedarik zincirinde geçersizdir. Geçmiş verinden σ_L tahmin edilmelidir.
5. Cycle service ile fill rate'i karıştırmak. İki farklı ölçüttür ve aynı sayısal hedefte (%95) farklı R üretir. Yönetim raporunda hangisi olduğu belirtilmelidir.

EOQ vs Newsvendor vs (Q, R): kavramsal karşılaştırma

| Model | Zaman ufku | Karar | Talep varsayımı | Risk mekanizması | |---|---|---|---|---| | EOQ | Sürekli | Q | Deterministik | Yok | | EPQ | Sürekli | Q | Deterministik + sonlu üretim hızı | Yok | | Newsvendor | Tek dönem | Q | Stokastik | Critical fractile | | (Q, R) — bu araç | Sürekli | Q + R | Stokastik + rasgele L | Emniyet stoğu SS | | Wagner-Whitin | Çok dönem, sonlu ufuk | Her dönem lot | Deterministik + zaman-değişken | Yok |

(Q, R) sürekli stokastik eksenin egemenidir. Newsvendor tek-dönem kesitidir; EOQ ise deterministik iskeletini verir. Uygulamada perakende, FMCG, yedek parça yönetiminde ve tıbbi tedarik zincirinde en yaygın kullanılan modeldir.

Ne zaman (Q, R) yanlış araçtır?

• Kısa yaşam döngülü ürün (sezonluk giyim, teknoloji lansmanı) → Newsvendor.
• Zamanla değişen deterministik talep (proje bazlı montaj) → Wagner-Whitin.
• Yüksek talep-tedarik korelasyonu — büyük bir promosyon hem talebi hem tedariki etkiliyorsa bağımsızlık varsayımı çöker; joint stokastik simülasyon gerekir.
• Ürünler arası bağımlılık — komplemanter kalemlerde ortak sipariş ekonomisi joint replenishment modeli ister.

Tarih

Model çok kez keşfedildi: Wilson (1934) deterministik EOQ, Arrow, Harris ve Marschak (1951) stokastik envanteri newsvendor türetimiyle formalize etti; Whitin (1953) ve Hadley & Whitin (1963) sürekli- izleme (Q, R) modelini standartlaştırdı. Peterson & Silver (1979) kitabı tedarik zincirinde referans metin oldu. Modern MRP ve APS sistemleri (SAP APO, Oracle Demantra, Kinaxis) sürekli-izleme modelini motor olarak kullanır; ancak Wagner-Whitin ve rolling horizon üzerine inşa edilmiş katmanlarla birlikte.

Bu araç neyi hesaplar?

Sol formda ortalama günlük talep (μ_d), talep std. sapması (σ_d), ortalama tedarik süresi (L) ve isteğe bağlı tedarik süresi std. sapması (σ_L) girilir. Servis modu — Type-I (cycle) veya Type-II (fill) — ve hedef seviye (0-1 arası) seçilir. İsteğe bağlı Q sipariş büyüklüğü verilebilir; verilmezse D, K, h üçlüsünden EOQ türetilir.

Sağ panelde: R, SS, z, σ_DL, ulaşılan cycle service ve fill rate, E[eksik/çevrim], toplam yıllık maliyet metrikleri; testere-dişi stok grafiği (R çizgisi kırmızı, SS koridoru amber); ve α = 0.5 → 0.999 duyarlılık tablosu.

Sıralı ilgili araçlar

• EOQ — Q'yu deterministik olarak boyutlar
• EPQ — sonlu üretim hızıyla EOQ
• Newsvendor — tek-dönem stokastik
• Wagner-Whitin — çok-dönem deterministik

Sıkça sorulanlar

Yeniden sipariş noktası (ROP) nedir?

Sürekli-izleme (Q, R) modelinde stok R eşiğine düştüğü anda sabit Q kadar yeni sipariş verilir. Sipariş, tedarik süresi L sonrasında ulaşır. R yeteri kadar yüksek olmalı ki tedarik süresi boyunca gelecek talep büyük olasılıkla stoktan karşılanabilsin. Klasik formül R = μ_d · L + z · σ_DL; ilk terim beklenen tedarik-süresi talebi, ikincisi bu talebin belirsizliğine karşı seçilen emniyet stoğudur.

Emniyet stoğu (safety stock) neden gerekir?

Talep ortalamasının üstünde çıktığı ya da tedarik gecikince stok tükenmesin diye tutulan tampondur. Talebi tam olarak μ_d · L kadar tahmin edersek ve bu miktarı sipariş noktasına koyarsak talebin bu ortalamayı aşan yarısında stoksuz kalırız — cycle service level %50 olur. Belirsizlik altında hedef %95, %99 gibi bir servise ulaşmak için ortalama üstünde bir tampon eklemek gerekir; işte SS = z · σ_DL bu tamponun büyüklüğüdür.

σ_DL neden L·σ_d² + μ_d²·σ_L² şeklinde hesaplanır?

Tedarik süresi L rasgele bir değişkense, tedarik süresi boyunca kümülatif talep D_L = Σ_{t=1}^{L} d_t ikili rasgeleliğin çarpımıdır. Toplam varyans yasası (law of total variance): Var(D_L) = E[L]·Var(d) + (E[d])²·Var(L). Yani L·σ_d² + μ_d²·σ_L². L deterministikse (σ_L = 0) σ_DL = √L · σ_d klasik hâline döner. Sık karıştırılan nokta: σ_L'yi doğrudan σ_DL'ye eklemek YANLIŞ — μ_d² katsayısı sipariş büyüklüğüne göre σ_L etkisini büyütür.

z değeri nereden gelir?

Tedarik süresi boyunca talep D_L ~ N(μL, σ_DL²) yaklaşımı altında, P(D_L ≤ R) = α → R = μL + Φ⁻¹(α) · σ_DL. z_α = Φ⁻¹(α) standart normal ters CDF. Ders kitabından bilinen değerler: z_{0.90} ≈ 1.28, z_{0.95} ≈ 1.65, z_{0.975} ≈ 1.96, z_{0.99} ≈ 2.33, z_{0.999} ≈ 3.09. Talep gerçekten normal değilse Chebyshev veya distribution-free yaklaşımlar var; ancak toplama etkisi (Central Limit) nedeniyle L uzun ise normal yaklaşımı çoğu zaman yeterlidir.

Cycle service level (Type-I) ile fill rate (Type-II) arasındaki fark nedir?

Cycle service α = P(tedarik süresi boyunca stoksuz kalmama) — bir sipariş çevriminde en az bir birim eksik kalınmama olasılığıdır. Fill rate β = E[karşılanan talep] / E[toplam talep] — talebin ortalama olarak kaçta kaçının stoktan karşılandığıdır. Aynı sayısal hedefte (%95) fill rate genelde daha az emniyet stoğu ister çünkü stoksuzluk olduğunda bile talebin çoğu karşılanmış olabilir. Perakende ve dağıtım fill rate hedefini tercih eder; kritik yedek parçada cycle service anlamlıdır.

Q'nun (sipariş büyüklüğünün) emniyet stoğu ile ilişkisi nedir?

Cycle service için Q, R'yi ETKİLEMEZ; sadece σ_DL ve α belirler. Ancak fill rate için β = 1 − σ_DL·L(z)/Q ilişkisi vardır: büyük Q, aynı stoksuz miktarı daha çok toplam talebe bölerek fill rate'i yükseltir. Bu yüzden büyük lotlarla çalışılırsa aynı β hedefine daha AZ emniyet stoğuyla ulaşılabilir. Q ile SS aynı yönde çalışır — biri artınca öbürü azaltılabilir; toplam envanter maliyet dengesi (Q/2)·h + SS·h olarak yönetilir.

EOQ + emniyet stoğu ile Newsvendor arasındaki ilişki nedir?

Üçü de aynı problem ailesinin farklı köşeleridir. EOQ deterministik ve sürekli, tek karar Q, risk yönetimi dışarıda. Newsvendor stokastik ama tek dönem, tek karar Q, risk kapalı-form. (Q, R) modeli hibrittir: Q'yu deterministik EOQ ile boyutlar, R ve SS'yi stokastik olarak — critical fractile'nin analoğu z = Φ⁻¹(α) — belirler. Newsvendor'da underage/overage asimetrisi kritik oranı verirken (Q, R)'de servis-seviyesi α doğrudan hedef olarak alınır.

Yüksek servis seviyesi neden orantısız pahalıya patlar?

z_α ile α arasında doğrusal olmayan ilişki var: %90 → z = 1.28, %95 → z = 1.65 (+%29 SS), %99 → z = 2.33 (+%82 SS'e göre %95'ten), %99.9 → z = 3.09 (+%33 daha). Her ek '9' emniyet stoğu için çok daha fazla ödeme demektir. Ayrıca stoksuz kalma olayı zaten nadir olduğu için son yüzdeleri gütmek işletme değeriyle orantısız envanter bağlar. Kritik yedek parçada (%99.9) haklı; hızlı tüketim ürününde (%92) çoğu zaman yeterlidir.

Talep dağılımı normal değilse ne yapmalı?

Üç seçenek: (1) Toplam etkisi — L ≥ 5 çevrim ise Merkezi Limit Teoremi ile ampirik olarak normale yakınsar; parametrik varsayım güvenli. (2) Bootstrap — geçmiş günlük talep serisinden L uzunluğunda pencereler örnekle, kümülatif talep dağılımını ampirik olarak inşa et; R doğrudan bu dağılımın α-yüzdeliği. (3) Distribution-free — sadece ortalama ve varyans varsa Scarf 1958 en-kötü-durum formülü R = μL + √((1-α)/α) · σ_DL kullanılabilir; daha konservatif. Kesikli talep için Poisson yaklaşımı, sık kesilen tedarikte gamma karışımları alternatif.