Balkendurchbiegung Rechner
Kostenloser struktureller Balkendurchbiegungsrechner. Geben Sie Balkentyp, Belastung, Spannweite, Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment ein.
Berechnen Sie Durchbiegung, Biegemoment und Auflagerreaktionen für einfach gelagerte Balken und Kragbalken.
Einführung
Die Balkendurchbiegung ist eine der grundlegendsten Berechnungen im Stahlbau und Holzbau. Wenn ein Balken eine Last trägt, biegt er sich durch — und diese Durchbiegung muss für Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit kontrolliert werden. Übermäßige Durchbiegung kann Beläge beschädigen, Maschinen ausrichten, Wasserpfannen auf Dächern verursachen und Gebrauchstauglichkeitsprobleme hervorrufen, bevor die Traglast erreicht wird.
Balkentypen und Lastbilder
Einfach gelagerter Balken: Beide Enden liegen auf Gelenk- oder Rollenlagerungen. Der häufigste Fall bei Deckenträgern aus Stahl oder Holz.
Kragbalken (Konsole): Ein Ende ist vollständig eingespannt, das andere Ende ist frei. Typisch bei Balkonen, Dachüberständen und Flügelkonstruktionen.
Belastungsarten:
- Einzellast in Feldmitte
- Einzellast am freien Ende (nur Kragbalken)
- Gleichmäßig verteilte Last (gv. Last)
Berechnungsformeln
Die Formeln basieren auf der Euler-Bernoulli-Balkentheorie (EI·d²y/dx² = M):
| Konfiguration | Formel |
|---|---|
| Einfach gelagert, Einzellast Mitte | δ = FL³ / (48EI) |
| Einfach gelagert, gv. Last | δ = 5wL⁴ / (384EI) |
| Kragbalken, Einzellast freies Ende | δ = FL³ / (3EI) |
| Kragbalken, gv. Last | δ = wL⁴ / (8EI) |
Materialkennwerte: Elastizitätsmodul
| Werkstoff | E (GPa) |
|---|---|
| Baustahl S235/S355 | 200–210 |
| Aluminiumlegierung | 68–72 |
| Stahlbeton | 25–35 |
| Nadelholz (längs) | 8–12 |
| Laubholz | 10–20 |
Querschnittswerte: Flächenträgheitsmoment
Das Flächenträgheitsmoment (I) misst, wie die Querschnittsfläche um die neutrale Achse verteilt ist. Ein tieferer Querschnitt ist dramatisch steifer, weil I mit der dritten Potenz der Höhe skaliert.
Rechteckquerschnitt: I = (b × h³) / 12
Kreisquerschnitt: I = π × d⁴ / 64
Für Normstahlprofile (IPE, HEA, HEB) sind die I-Werte in Stahlbautabellen gelistet. Typische Werte reichen von ca. 500 cm⁴ (IPE200) bis über 100.000 cm⁴ (HEA700).
Gebrauchstauglichkeitsnachweise
Die Normen legen Grenzwerte für die Durchbiegung fest:
| Bauteile | Grenzwert |
|---|---|
| Deckenträger allgemein | L/300 bis L/360 |
| Dachträger ohne Verputz | L/200 |
| Dachträger mit Verputz | L/360 |
| Kragbalken | L/180 |
Biegemoment und Querkraft
Der Rechner gibt auch das maximale Biegemoment und die maximale Querkraft aus. Diese Werte werden für Festigkeitsnachweise verwendet:
- Das Biegemoment bestimmt den benötigten Querschnittswiderstand (Wpl oder Wel)
- Die Querkraft ist maßgebend für den Stegschubnachweis
Die Auflagerreaktionen (A und B) sind Grundlagen für die Bemessung der tragenden Konstruktion.
Voraussetzungen
Dieser Rechner basiert auf folgenden Annahmen:
- Linear elastisches Materialverhalten (keine Plastizierung)
- Kleine Verformungen (δ << L)
- Homogener, konstanter Querschnitt über die Länge
- Vernachlässigung der Schubverformung
- Kein Normalkrafteinfluss
Strukturelle Entwürfe müssen stets von einem zugelassenen Tragwerksplaner geprüft werden.
Häufige Fragen
Warum biegt sich ein Kragbalken viel stärker durch als ein einfach gelagerter Balken?
Unter einer Einzellast biegt sich ein Kragbalken 16-mal mehr durch als ein einfach gelagerter Balken gleicher Spannweite (FL³/3EI gegenüber FL³/48EI). Der Faktor 16 ergibt sich aus den unterschiedlichen Randbedingungen.
Was ist die Biegesteifigkeit EI?
EI ist das Produkt aus Elastizitätsmodul (E) und Flächenträgheitsmoment (I). Es erscheint in allen Durchbiegungsformeln als einziges Maß für die Steifigkeit. Um die Durchbiegung zu halbieren, muss EI verdoppelt werden.
Welche Einheiten soll ich verwenden?
E in GPa (z.B. 200 für Stahl), I in cm⁴ (aus Profilstahltabellen), L in Metern, F in kN oder w in kN/m. Der Rechner gibt die Durchbiegung in mm aus.