Quadratwurzel-Rechner

Dieser Rechner berechnet die Quadrat- oder n-te Wurzel einer Zahl, prüft ob sie eine perfekte Quadratzahl ist, und gibt die vereinfachte Radikalform aus.

Was ist eine Quadratwurzel?

Die Quadratwurzel einer Zahl x ist eine Zahl r mit r² = x. Für nicht-negative Zahlen gibt es genau eine nicht-negative Wurzel: √x.

Die n-te Wurzel verallgemeinert dies: ⁿ√x = x^(1/n), wobei rⁿ = x.

Perfekte Quadratzahlen

Eine perfekte Quadratzahl ist eine ganze Zahl, deren Quadratwurzel ebenfalls eine ganze Zahl ist. Beispiele: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Vereinfachte Radikalform

Vereinfachung bedeutet, alle quadratischen Faktoren aus dem Wurzelzeichen herauszuziehen.

Beispiel: √72

• 72 = 36 × 2
• √72 = 6√2 (Koeffizient 6, Radikand 2)

Allgemeiner Algorithmus (n-te Wurzel):

1. Primfaktorzerlegung: x = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …
2. Koeffizient: Produkt der p^⌊e/n⌋; Radikand: Produkt der p^(e mod n)

Rechenbeispiele

Beispiel 1 — Satz des Pythagoras

Eine Leiter lehnt an einer Wand: Höhe 3 m, Abstand 4 m. Länge = √(3² + 4²) = √25 = 5 m

Beispiel 2 — √180 vereinfachen

180 = 36 × 5 → √180 = 6√5 ≈ 13,416

Beispiel 3 — Kubikwurzel

∛343 (n=3): 7³ = 343 → ∛343 = 7

Häufige Fehler

1. √(a + b) ≠ √a + √b. Beispiel: √(9 + 16) = 5, nicht 3 + 4 = 7.
2. √(a²) = |a|, nicht immer a. Für negative a ist das Ergebnis -a.
3. Quadratische Faktoren übersehen. Immer faktorisieren vor der Vereinfachung.

Häufig gestellte Fragen

Warum gibt es keine Quadratwurzel negativer Zahlen im Reellen? Weil das Quadrat jeder reellen Zahl nicht-negativ ist. Im Bereich der komplexen Zahlen definiert man i = √(−1).

Wie genau ist die Berechnung? Für n=2 wird Math.sqrt verwendet, für andere n wird Math.pow(x, 1/n) eingesetzt — beide basieren auf IEEE 754 Doppeltgenauigkeit mit ca. 15 signifikanten Stellen.

Referenzen

• Wolfram MathWorld: Square Root
• Khan Academy: Radicals
• Wikipedia: Nth Root