平方根计算器

本计算器可计算任意数的平方根或 n 次方根，检查是否为完全平方数，并提供化简后的根式形式。

什么是平方根？

数 x 的平方根是满足 r² = x 的值 r。每个非负数都有唯一的非负平方根：√x。

n 次方根是更一般的概念：ⁿ√x = x^(1/n)。

完全平方数

完全平方数是平方根也为整数的非负整数。示例：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

化简根式

化简是指将根号内所有完全平方因子提取到根号外。

示例： √72

• 72 = 36 × 2
• √72 = 6√2（系数 6，被开方数 2）

通用算法（n 次方根）：

1. 质因数分解：x = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …
2. 系数：各 p^⌊e/n⌋ 之积；被开方数：各 p^(e mod n) 之积

计算示例

示例一 — 勾股定理

梯子靠墙：高 3 m，距墙 4 m。 长度 = √(9 + 16) = √25 = 5 m

示例二 — 化简 √180

180 = 36 × 5 → √180 = 6√5 ≈ 13.416

示例三 — 立方根

∛343（n=3）：7³ = 343 → ∛343 = 7

常见错误

1. √(a + b) ≠ √a + √b。 例：√(9 + 16) = 5，而非 3 + 4 = 7。
2. √(a²) = |a|，并非总是 a。
3. 忘记寻找完全平方因子。

常见问题

为什么负数没有实数平方根？ 因为任何实数的平方都是非负数。在复数中定义 i = √(−1)。

计算精度如何？ n=2 时使用 Math.sqrt，其他情况使用 Math.pow(x, 1/n)，精度约为 15 位有效数字。