Karar Analizi: Belirsizlik ve Risk Altında Doğru Seçim

İşlerin yarısı karar vermektir, diğer yarısı kararla yaşamaktır. Yatırım yapmak mı, ürünü piyasaya sürmek mi, yeni tedarikçiye geçmek mi, kliniği açmak mı? Cevap, geleceğin nasıl şekilleneceğine bağlı — ama gelecek belirsiz. Karar analizi (decision analysis), bu belirsizliği matematiksel olarak modelleyip karar verene yapılandırılmış bir çerçeve sunan disiplindir.

Klasik OR/yönetim bilimi çerçevesinde karar problemi üç temel bileşene indirgenir:

• Alternatifler (A₁, A₂, …, Aₘ): elimizdeki seçenekler.
• Doğa durumları (S₁, S₂, …, Sₙ): kontrolümüz dışında gerçekleşecek rastgele “dış olaylar” — talep yüksek/düşük, hava açık/kapalı, rakip ucuz/pahalı.
• Getiri matrisi V: her (alternatif, durum) ikilisinde gerçekleşen sayısal sonuç (kâr, maliyet, fayda).

Karar problemini iki kategoriye ayırırız:

Senaryo	Bildiğimiz	Karar kriterleri
Belirsizlik altında	Yalnızca getiri matrisi	Maximax, Maximin, Laplace, Hurwicz, Savage Regret
Risk altında	Getiri matrisi + olasılıklar p_j	EMV, EOL, EVPI

Bu rehberde her kriteri sezgi → formül → küçük örnek üçlüsüyle gezeceğiz ve Karar Analizi aracında hepsinin tek geçişte nasıl hesaplandığını göstereceğiz.

Çalışma örneği: Thompson Lumber

Render, Stair ve Hanna’nın Quantitative Analysis for Management kitabındaki klasik örnek üzerinden gidelim. John Thompson kereste satıyor ve yeni bir depo açmayı düşünüyor. Üç alternatifi var:

1. Büyük tesis kur
2. Küçük tesis kur
3. Hiçbir şey yapma

Geleceğin iki olası doğa durumu var: pazar talebi yüksek olur ya da düşük. Getiri matrisi (yıllık net kâr, $):

Alternatif \ Durum	Talep yüksek	Talep düşük
Büyük tesis	+200 000	−180 000
Küçük tesis	+100 000	−20 000
Hiçbir şey yapma	0	0

İlk başta olasılıkları bilmediğimizi varsayalım (saf belirsizlik). Beş klasik kriterin nasıl çalıştığını adım adım uygulayalım.

Belirsizlik altında kriterler

Maximax — iyimser

Her alternatifin en iyi sonucuna bak, sonra bunların en iyisini seç. Kâr maksimize ediliyorsa “en iyi”in anlamı en büyük.

• Büyük tesis en iyisi: +200 000
• Küçük tesis en iyisi: +100 000
• Hiçbir şey yapma en iyisi: 0

Maximax → Büyük tesis (200 000). Iyimser girişimci ruh: “Talep yüksek olacak, gaza basalım.”

Maximin (Wald) — kötümser

Her alternatifin en kötü sonucuna bak, sonra bunların en iyisini seç. Kâr modunda “en kötü”nün anlamı en küçük.

• Büyük tesis en kötüsü: −180 000
• Küçük tesis en kötüsü: −20 000
• Hiçbir şey yapma en kötüsü: 0 ← en iyi (en az kötü)

Maximin → Hiçbir şey yapma (0). Wald kriteri: “Felaket senaryosunda ayakta kal.” Risk-tolerans çok düşük olan, yıkılma kapasitesi olmayan karar vericiler bunu tercih eder (örn. ufak işletme, kişisel finans).

Laplace — eşit-olası

Olasılıkları bilmiyoruz; eşit varsayalım ve aritmetik ortalamayı al. Pierre-Simon Laplace’ın “yetersiz neden” prensibi: “Aksini gösteren bilgi yoksa, olayları eşit-olası say.”

• Büyük tesis ortalaması: (200 000 + (−180 000)) / 2 = +10 000
• Küçük tesis ortalaması: (100 000 + (−20 000)) / 2 = +40 000 ← en iyi
• Hiçbir şey yapma ortalaması: 0

Laplace → Küçük tesis (40 000). Çoğu zaman EMV ile aynı sonucu verir (eşit olasılıklar varsayımı altında EMV ile özdeş).

Hurwicz — ayarlanabilir iyimserlik

Maximax (saf iyimser) ve Maximin (saf kötümser) arasını iyimserlik katsayısı α ∈ [0, 1] ile ölç:

Hurwicz(Aᵢ) = α · best(Aᵢ) + (1 − α) · worst(Aᵢ)

α = 1 → Maximax; α = 0 → Maximin; α = 0.5 → Laplace’a yakın bir nötr nokta.

Thompson örneğinde α = 0.8 (oldukça iyimser):

• Büyük tesis: 0.8 · 200 000 + 0.2 · (−180 000) = 160 000 − 36 000 = +124 000 ← en iyi
• Küçük tesis: 0.8 · 100 000 + 0.2 · (−20 000) = 80 000 − 4 000 = +76 000
• Hiçbir şey yapma: 0

Hurwicz(α=0.8) → Büyük tesis. α = 0.2’ye düşürelim:

• Büyük tesis: 0.2 · 200 000 + 0.8 · (−180 000) = −104 000
• Küçük tesis: 0.2 · 100 000 + 0.8 · (−20 000) = +4 000 ← en iyi
• Hiçbir şey yapma: 0

Hurwicz(α=0.2) → Küçük tesis. Karar verici, kendi α’sı için bir duyarlılık analizi yapabilir: α’yı yavaşça 0’dan 1’e arttırarak hangi alternatifin hangi aralıkta liderlik ettiğini görsel olarak izleyebilir. Aracın Hurwicz kaydırma çubuğu tam da bunu yapar.

Savage — minimax regret

Sonradan pişman olmamak istiyorsan, “pişmanlık matrisi” kur. Her doğa durumunda o durumda en iyi olabilecek alternatife göre fark:

Rᵢⱼ = (o sütunun en iyi V'si) − Vᵢⱼ (max modu için)

Thompson örneğinde sütun maksimumları: durum 1 → 200 000, durum 2 → 0.

Alternatif	Talep yüksek (col max=200 000)	Talep düşük (col max=0)	Maks regret
Büyük tesis	0	180 000	180 000
Küçük tesis	100 000	20 000	100 000 ← en düşük
Hiçbir şey yapma	200 000	0	200 000

Savage → Küçük tesis (en yüksek pişmanlığı 100 000 ile sınırlı). En yüksek pişmanlığı minimize etmek psikolojik olarak güçlü bir kriterdir: sonradan “ah ben bunu yapmasaydım” demek istemeyenler için ideal.

Kriterler aynı şeyi söylemiyor — şimdi ne yapmalı?

Aynı problemde beş farklı kriter üç farklı alternatife işaret etti: Büyük tesis (Maximax), Hiçbir şey yapma (Maximin), Küçük tesis (Laplace, Hurwicz α=0.5, Savage). Bu karar problemi gerçekten zor demektir — olasılıkları öğrenmeden net bir cevap zor. Bu yüzden bir sonraki adım çoğunlukla olasılık tahmini ve risk altı kriterlere geçiştir.

Risk altında: EMV, EOL ve EVPI

Diyelim ki Thompson, geçmiş veriler ve pazar araştırmasıyla p(talep yüksek) = 0.5, p(talep düşük) = 0.5 olasılıklarını biçti.

EMV — Beklenen Parasal Değer

Her alternatifin beklenen getirisi:

EMV(Aᵢ) = Σⱼ p_j · Vᵢⱼ

• EMV(Büyük) = 0.5 · 200 000 + 0.5 · (−180 000) = +10 000
• EMV(Küçük) = 0.5 · 100 000 + 0.5 · (−20 000) = +40 000 ← en yüksek
• EMV(Hiçbir şey) = 0

EMV maksimum → Küçük tesis. Bu seçim, aynı kararı binlerce kez tekrarlasaydık uzun-dönem ortalama kârı maksimize ederdi.

EVwPI — Mükemmel Bilgi Altında Beklenen Değer

Karar vermeden önce hangi durumun gerçekleşeceğini kesin bilebilseydik:

EVwPI = Σⱼ p_j · maxᵢ Vᵢⱼ

• Durum 1 gerçekleşirse en iyi: Büyük tesis (200 000)
• Durum 2 gerçekleşirse en iyi: Hiçbir şey yapma (0)
• EVwPI = 0.5 · 200 000 + 0.5 · 0 = +100 000

EVPI — Mükemmel Bilginin Değeri

EVPI = EVwPI − EMV* = 100 000 − 40 000 = +60 000

Yorum: Geleceği kesin bilen bir bilgi kaynağına (kristal küre, harika bir pazar araştırması) en fazla 60 000 $ öderim. Bundan pahalı araştırma, kusursuz sonuç verse bile zarara yol açar. EVPI, bilgiye ödeme sınırını matematiksel olarak çizer.

EOL — Beklenen Fırsat Kaybı

Savage regret matrisini olasılıklarla ağırlıklandır:

EOL(Aᵢ) = Σⱼ p_j · Rᵢⱼ

• EOL(Büyük) = 0.5 · 0 + 0.5 · 180 000 = 90 000
• EOL(Küçük) = 0.5 · 100 000 + 0.5 · 20 000 = 60 000 ← en düşük
• EOL(Hiçbir şey) = 0.5 · 200 000 + 0.5 · 0 = 100 000

Min EOL = 60 000 = EVPI. Bu özdeşlik tesadüf değil: EOL(Aᵢ) = EVwPI − EMV(Aᵢ), dolayısıyla min EOL = EVwPI − max EMV = EVPI. Bu, EVPI’nın “optimum alternatif seçsek bile katlanmaya devam ettiğimiz beklenen fırsat kaybı” yorumunu çerçeveler.

EVSI — Mükemmel olmayan bilginin değeri

EVPI mükemmel bilgi varsayar; gerçek hayatta hiçbir araştırma %100 doğru sonuç vermez. EVSI (Expected Value of Sample Information), gürültülü bir bilgi kaynağı için aynı mantığı uygular. Tipik akış:

1. Önsel olasılıklar p_j.
2. Bilgi kaynağı bir “gözlem” (örn. pazar testi olumlu/olumsuz) yapar; doğruluk matrisi (likelihood) P(gözlem | durum) bilinir.
3. Bayes kuralıyla sonsal olasılıklar hesaplanır.
4. Her olası gözlem dalında en iyi alternatifin EMV’si bulunur, her dalın beklenen değeri marjinal P(gözlem) ile ağırlıklandırılır.
5. EVSI = (gözlemden sonra beklenen değer) − EMV*.

EVSI ≤ EVPI her zaman doğrudur (mükemmel olmayan bilgi mükemmel bilgiden az değer üretir). EVSI hesabı bu aracın v1 kapsamında değil; Bayes ağacını ayrı bir araçla planlıyoruz.

Min (maliyet) modu nasıl değişir?

Aynı tüm kriterler maliyet minimize problemlerinde de geçerli; tek fark “en iyi”nin işareti:

• Min modunda Maximax (en iyi-en iyi) = her satırın en düşük maliyeti, sonra bunların en düşüğü.
• Maximin = her satırın en yüksek maliyeti, sonra bunların en düşüğü (“en kötü senaryoda en az zararlı”).
• Laplace = ortalama maliyet en düşük olan.
• Hurwicz = α · best + (1 − α) · worst; best = en düşük maliyet.
• Savage = Rᵢⱼ = Vᵢⱼ − (o sütunun en düşüğü); pozitif.
• EMV = beklenen maliyet en düşük olan. EVPI = EMV* − EVwPI.

Aracın “Minimize (maliyet)” radyo düğmesi bu dönüşümü otomatik yapar.

Tipik karar problemleri ve yorumlar

Yeni ürün lansmanı. Alternatifler: lansman / lansmanı 6 ay ertele / hiç çıkma. Durumlar: rakip çıkmamış / 1 rakip / 2+ rakip. Olasılıklar çoğunlukla 0.5–0.3–0.2 gibi kabaca tahminlerdir; EVPI bir pazar araştırmasının üst sınırını söyler.

Tedarikçi seçimi. Alternatifler: A / B / C; Durumlar: düşük talep / orta / yüksek. Maliyet modunda EMV ile birlikte Maximin kullanılır (tedarik krizi senaryosunda iflas etmemek için).

Sigorta poliçesi seçimi. Belirsizlik altında klasik örnek. EMV genellikle “sigorta yapma”yı önerir (uzun vadede sigorta primi beklenen hasarı aşar); ama riskten kaçınma + Wald kriteri bireysel kararı tersine çevirir.

Hisse seçimi / sermaye yatırımı. Çoklu durum (boğa, ayı, yatay) üzerinden EMV ve Sharpe-benzeri risk düzeltmeleri.

Bayes güncellemesi: olasılıklar nereden gelir?

Olasılıklar çoğu zaman önsel (prior) bir tahminden başlar — geçmiş veriler, sektör raporları, uzman görüşü. Yeni bilgi (pazar testi, müşteri anketi) geldikçe Bayes kuralı ile güncellenir:

P(durum | gözlem) = P(gözlem | durum) · P(durum) / P(gözlem)

Bu sayede statik bir karar tablosu yerine dinamik, kanıtlarla güncellenen bir model çıkar. Tipik akış: önsel olasılıklarla EMV/EVPI hesapla; eğer EVPI yüksekse bilgi al; gelen kanıtla olasılıkları güncelle; tekrar hesapla; karar ver.

Karar ağaçları ile köprü

Çok-aşamalı kararlar (önce test yap-yapma seçimi, sonra teste göre yatırım) için karar tablosu yetmez; karar ağaçları devreye girer. Karar düğümü (kare) — alternatifler arasından biz seçeriz; şans düğümü (yuvarlak) — doğa rastgele bir dal seçer (olasılıklarla). Karar ağacı geriye-doğru çözülür: yapraktan kök’e, şans düğümlerinde beklenen değer, karar düğümlerinde max/min.

Bu rehberdeki karar tablosu yaklaşımı, karar ağacının tek-aşama özel hâlidir. Çok-aşama gerektiğinde aynı kavramlar (EMV, EVPI) ağaç üzerinde de geçerlidir.

Pratik öneriler

1. Birden fazla kriter hesapla. Tek bir kriter “doğru” cevap vermez; farklı kriterlerin işaret ettiği alternatiflerin örtüştüğü noktalar sağlam seçimlerdir.
2. Olasılık duyarlılığı yap. EMV liderini olasılıklar küçük oranda değişince hâlâ aynı mı? Eğer kritik kararda EMV ucu ucuna kazanıyorsa daha çok bilgi topla.
3. EVPI’yi araştırma bütçesi olarak kullan. EVPI > araştırma maliyeti ise bilgiye yatırım yap; değilse “yeterince biliyorum, karar ver.”
4. Riskten kaçınma derecene göre Wald veya Hurwicz seç. Şirketin yıkılma toleransı düşükse Wald’a doğru kay; rekabetçi sıçrama gerektiren bir konumdaysa Hurwicz’i iyimser ucuna çek.
5. Negatif sonuçların boyutuna dikkat. Çok büyük negatif getiri (örn. iflas) varsa EMV yetmez; fayda fonksiyonu ya da Wald gerekir.

Aracı kullan

Karar Analizi aracı, bu beş belirsizlik altı kriteri ve risk altındaki EMV / EOL / EVPI üçlüsünü tek ekranda hesaplar. Hurwicz α değerini canlı kaydırma çubuğuyla deneyimle, “Thompson örneği” ve “Tedarikçi (min)” düğmeleriyle yukarıdaki örnekleri yükle ve kendi karar tablonu yapıştırarak başla.

Pazar araştırmasından önce EMV ile EVPI’yi mutlaka karşılaştır: araştırma maliyeti EVPI’dan büyükse en mükemmel sonuç bile parayı geri getirmez.

İlgili kavramlar ve okumalar

• Beklenen fayda teorisi (Expected Utility): EMV yerine bireyin/firmanın fayda fonksiyonu üzerinden hesap.
• Karar ağaçları ve Bayes ağları: çok-aşama ve koşullu olasılıklı durumlar.
• Robust optimization (Sağlam optimizasyon): kötü durum senaryolarına karşı dayanıklı çözümler — Wald’ın modern, çok değişkenli versiyonu.
• Markov karar süreçleri (MDP): zaman içinde gelişen, hâlihazırda Markov zincirleri ile tanıdık olduğun stokastik kararlar.

Sıkça sorulanlar

Belirsizlik altında karar ile risk altında karar arasındaki fark nedir?

Belirsizlik altında karar verirken doğa durumlarının (S₁, S₂, …) olasılıklarını bilmiyoruz; yalnızca getirileri biliyoruz. Risk altında ise her durumun olasılığı p_j bilinir (kaynak: tarihsel veri, uzman görüşü, Bayes güncellemesi). Belirsizlik altında Maximax / Maximin / Laplace / Hurwicz / Savage Regret gibi yapısal kriterler kullanılır; risk altında ise beklenen değer hesabı (EMV, EOL, EVPI) öne çıkar. Pratikte iki yaklaşım aynı problem üzerinde birbirini destekler: olasılıkları kabaca tahmin edip duyarlılık analizi yaparak hangi alternatifin hangi varsayım altında dayanıklı kaldığına bakılır.

EMV (Beklenen Parasal Değer) nasıl hesaplanır?

EMV (Expected Monetary Value), bir alternatif için her doğa durumundaki getirinin o durumun olasılığıyla çarpılıp toplanmasıdır: EMV(Aᵢ) = Σⱼ p_j · Vᵢⱼ. Risk altında karar verirken kâr maksimize ediliyorsa en yüksek EMV'li, maliyet minimize ediliyorsa en düşük EMV'li alternatif seçilir. EMV, çok kez tekrarlanan benzer kararlar için uzun-dönem ortalama getiriye yakınsar (Büyük Sayılar Yasası); tek seferlik kritik kararlarda ise riskten kaçınma derecesine göre tamamlanması gerekir (örn. fayda fonksiyonu, sertifika eşdeğeri).

EVPI tam olarak ne demek ve neden önemli?

EVPI (Expected Value of Perfect Information — Mükemmel Bilginin Beklenen Değeri), eğer karar vermeden önce hangi doğa durumunun gerçekleşeceğini kesin olarak öğrenebilseydik, beklenen getirimizin ne kadar artacağıdır. Formül: EVPI = EVwPI − EMV* (max modu); burada EVwPI = Σⱼ p_j · maxᵢ Vᵢⱼ ve EMV* en iyi alternatifin EMV'si. Pratik anlamı: bir pazar araştırması, test, danışman veya pilot çalışmaya ödeyebileceğin maksimum tutar. Eğer araştırma EVPI'dan pahalıysa, mükemmel sonuç verse bile zarara yol açar.

Maximax, Maximin, Laplace, Hurwicz ve Savage hangisini ne zaman kullanmalı?

Hiçbiri 'doğru' kriter değil; her biri farklı bir risk tutumunu temsil eder. **Maximax** (iyimser): en iyi senaryoya odaklan, fırsat odaklı girişimciler. **Maximin / Wald** (kötümser): en kötü senaryoya odaklan, kayıp-tolerans düşük (örn. acil servis, nükleer santral). **Laplace**: olasılıkları bilmiyoruz, eşit varsayalım — bilgi yokken makul nötr nokta. **Hurwicz**: α katsayısı ile iyimserlik-kötümserlik dengesi kur (α=1 Maximax, α=0 Maximin). **Savage Regret**: 'sonradan pişman olmamak' istersen — her durumda en iyi yapamamanın bedelini minimize et. Pratikte hepsini hesaplayıp aynı alternatife işaret eden kriter sayısı çoksa o seçim daha dayanıklıdır.

Hurwicz iyimserlik katsayısı (α) nasıl seçilir?

α ∈ [0,1] aralığında kişisel/kurumsal risk tutumunu yansıtır. α = 0.5 nötr (Laplace'a yakın), α > 0.5 iyimser, α < 0.5 kötümser. Pratik yaklaşım: önce α'yı 0'dan 1'e tarayarak hangi alternatifin hangi α aralığında öne çıktığını görmek (duyarlılık analizi). Eğer bir alternatif geniş bir aralıkta lider çıkıyorsa o seçim sağlamdır; küçük α değişimleriyle lider değişiyorsa karar belirsizdir ve ek bilgi toplamak gerekir.

Savage minimax regret kriteri ne işe yarar?

Savage kriteri 'sonradan pişman olmama' mantığıdır. Önce her doğa durumu için **regret matrisi** kurulur: Rᵢⱼ = (o durumda en iyi alternatifin getirisi) − Vᵢⱼ. Pozitif R, 'bu alternatifi seçtin ama durum gerçekleşince başka bir alternatif daha iyi olacaktı, bu kadar kaybettin' anlamına gelir. Her alternatifin maksimum regret'i bulunur, sonra bunların en küçüğü seçilir (minimax regret). Bu, hiçbir senaryoda büyük bir pişmanlık yaşamamayı garanti eder; özellikle psikolojik açıdan dayanıklı bir kriterdir.

EOL ile EMV birbirinden farklı sonuç verir mi?

Hayır — EOL (Expected Opportunity Loss, Beklenen Fırsat Kaybı) minimize edilirken seçilen alternatif EMV maksimize edildiğinde seçilenle her zaman aynıdır. Çünkü her alternatifin EOL'ı, EVwPI'den o alternatifin EMV'sinin çıkarılmasına eşittir: EOL(Aᵢ) = EVwPI − EMV(Aᵢ). EVwPI sabit olduğundan EMV'yi maksimize etmek EOL'ı minimize etmekle birebir eşdeğer. Hatta klasik bir özdeşlik vardır: **min EOL = EVPI**. Bu bağlantı EVPI'nın yorumunu güçlendirir: EVPI, optimum alternatifi seçsek bile katlanmaya devam ettiğimiz beklenen fırsat kaybıdır.