حاسبة المضروب — n! لأي عدد صحيح

تحسب هذه الحاسبة n! — حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n — لأي عدد صحيح بين 0 و170. تنمو قيم المضروب بسرعة كبيرة جداً: 5! = 120، و10! = 3,628,800. تستخدم الحاسبة BigInt للقيم الأكبر من 21.

ما هو المضروب؟

مضروب عدد صحيح غير سالب n، يُكتب n!، يُعرَّف بـ:

n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1، مع 0! = 1

أمثلة: 5! = 120، 10! = 3,628,800، 20! ≈ 2.43 × 10^18.

لماذا 0! = 1؟

الضرب الفارغ يُعرَّف بـ 1 (المحايد الضربي). كذلك C(n,0) = n!/(0!·n!) = 1، إذ هناك طريقة واحدة فقط لعدم اختيار أي شيء.

كيفية الاستخدام

1. أدخل n — عدد صحيح غير سالب (0–170).
2. اقرأ النتيجة — القيمة الدقيقة لـ n!.

أمثلة

مثال 1 — 7!

7! = 5,040 — عدد طرق ترتيب 7 كتب مختلفة.

مثال 2 — 13!

13! = 6,227,020,800

مثال 3 — 50!

50! يحتوي على 65 رقماً ويُحسب بدقة تامة باستخدام BigInt.

التطبيقات

• التوافيق والتباديل: C(n,r) = n!/(r!(n−r)!)، P(n,r) = n!/(n−r)!
• الاحتمالات: التوزيع الثنائي وتوزيع بواسون.
• متسلسلات تايلور: eˣ = Σ xⁿ/n!
• الفيزياء: تقريب ستيرلينغ في الميكانيكا الإحصائية.

الأسئلة الشائعة

لماذا الحد الأقصى هو n = 170؟ 170! ≈ 7.26 × 10^306 هو أكبر مضروب يمكن تخزينه في عدد ذو فاصلة عائمة بدقة مضاعفة.

ما هو تقريب ستيرلينغ؟ لقيم n الكبيرة: ln(n!) ≈ n·ln(n) − n + ½·ln(2πn).