Sonlu Kapasiteli Kuyruklar: M/M/1/K, M/M/c/K ve Erlang-B Kayıp Sistemi

Bekleme yeri sonsuz olan kuyruk modelleri — M/M/1 ve M/M/c — pedagojik açıdan temizdir ama gerçek dünya neredeyse hep sonludur: 30 kişilik bekleme salonu, 100 paketlik ağ buffer’ı, 6 muayene odası, 12 kapasiteli otopark. Bu sınırlar bloklama üretir: sistem doluyken gelen müşteri reddedilir. Bu rehber, M/M/1/K ve M/M/c/K modellerini ele alıyor.

Kendall hatırlatması

Kuyruk sisteminin Kendall notasyonu A/S/c/K biçimindedir:

• A — varış sürecinin dağılımı (M = Markov / Üstel)
• S — hizmet süresinin dağılımı (M = Markov / Üstel)
• c — paralel sunucu sayısı
• K — sistem kapasitesi; belirtilmezse ∞

Bu rehberin kapsamı:

Model	Sunucu	Kapasite	Karakter
M/M/1/K	1	K	Tek sunucu, sonlu bekleme
M/M/c/K	c	K	Çok sunucu, sonlu bekleme (K ≥ c)
M/M/c/c	c	c	Erlang-B kayıp sistemi (özel hâl)

Sınırsız buffer hâli için M/M/c Çoklu Sunucu Kuyruk Analizci tek başına bulunur.

Doğum-ölüm zinciri çözümü

Hem M/M/1/K hem M/M/c/K, durum uzayı N = {0, 1, …, K} olan sonlu bir doğum-ölüm zinciridir:

• Doğum hızı (varış): her n < K için λ_n = λ. n = K olduğunda varan müşteri reddedilir; λ_K = 0.
• Ölüm hızı (servis): n müşteri varken aktif sunucu sayısı min(n, c), böylece μ_n = min(n, c) · μ.

Detaylı denge denklemleri (P_n · λ_n = P_{n+1} · μ_{n+1}) çözüldüğünde:

$P_n = q_n / \sum_{k=0}^{K} q_k, \quad q_0 = 1, \quad q_n = q_{n-1} \cdot \frac{a}{\min(n, c)}$

burada a = λ/μ sunulan yüktür (offered load, Erlang birimi).

Bu araç tam olarak bu özyineli formülü uygular; faktoriyel taşması yaşanmaz, büyük c, K değerleri sayısal olarak temiz çalışır.

M/M/1/K — tek sunuculu sonlu sistem

c = 1 alındığında P_n için kapalı form çıkar:

• ρ ≠ 1 için: P_n = ρ^n · (1−ρ) / (1 − ρ^(K+1)), n = 0…K
• ρ = 1 için: P_n = 1/(K+1) (uniform)

Bloklama: P_K. Efektif geliş: λ_eff = λ · (1 − P_K).

Ortalamalar:

• L = Σ n · P_n
• L_q = L − (1 − P_0) (1 − P_0 = sunucu kullanım oranı = ortalama serviste olan)
• W = L / λ_eff, W_q = L_q / λ_eff

Sayısal örnek. λ = 2/dk, μ = 3/dk, K = 4:

• ρ = 2/3, P_0 = 81/211 ≈ 0.384
• P_block = P_4 = 16/211 ≈ %7.6
• λ_eff ≈ 1.85/dk
• L ≈ 1.24, L_q ≈ 0.63
• W ≈ 0.67 dk, W_q ≈ 0.34 dk

M/M/c/K — genel hâl

c sunucu, K kapasite (K ≥ c). Birinci bölgede (n ≤ c) sunucular paralel açılır; ikinci bölgede (n > c) tüm sunucular meşgul ve kuyruk birikir. Aynı özyineli formülasyon hem bölgeyi de kapsar.

Bloklama. P_block = P_K. λ_eff = λ(1 − P_K).

İki özel sınır hâli:

• K = c (M/M/c/c = Erlang loss): Hiç bekleme yok; müşteri ya hemen servise girer ya reddedilir. Bloklama olasılığı Erlang-B: $B(c, a) = (a^c/c!) / \sum_{n=0}^{c} a^n/n!$ Telekom devre tasarımı bu formülle yapılmıştır.
• K → ∞ (ve ρ < 1): Sistem M/M/c’ye yakınsar; bloklama 0’a düşer ve Erlang-C dinamikleri devreye girer.

Sayısal örnek. λ = 4/dk, μ = 2/dk, c = 2, K = 5:

• a = 2.0, ρ = 1.0 — sınırsız M/M/c kararsız olurdu, ama K sınırı sistemi kararlı tutar.
• P_block ≈ 0.226 → arayanların yaklaşık %22.6’sı reddediliyor.
• λ_eff ≈ 3.10/dk.

Erlang-B sayısal olarak nasıl hesaplanır?

Doğrudan toplama formülü (a^n/n!) büyük c’de taşma yapar. Standart özyineli formülü kullan:

B(0, a) = 1
B(n, a) = (a · B(n-1, a)) / (n + a · B(n-1, a))

Bu süreç c adımda durur ve hassasiyeti korur. Bu sitenin sonlu-kuyruk aracı içeride aynı özyineli formülü kullanır (erlangB fonksiyonu).

Tasarım: K ve c nasıl seçilir?

Tipik kararlar iki adımlıdır:

1. Servis hedefi belirle. “Bloklama oranı en fazla %2 olsun” ya da “P(W > 30 sn) ≤ %10” gibi.
2. (K, c) parametrelerini hedefe uydur. ρ → a alan c’yi bul; sonra K arttırarak P_K’yı hedefe çek.

Trade-off: c artırmak (daha çok sunucu) servisi hızlandırır ama maliyetlidir; K artırmak (daha çok bekleme yeri) bloklamayı düşürür ama fiziksel/algoritmik sınırı olabilir (raf alanı, buffer bellek). İyi tasarım iki tarafı dengeler.

Çağrı merkezi tasarımı: Erlang-B vs gerçek dünya

Gerçek çağrı merkezleri tamamen kayıp (Erlang-B) ya da tamamen bekleme (Erlang-C) değildir — bir kısım IVR’a takılır, bir kısım meşgul sinyali alır, geri kalan kuyrukta bekler. Sektörde:

• Erlang-B — trunk grubu boyutlamada (PBX hat sayısı)
• Erlang-C — agent sayısı belirlemede (sınırsız hold süresi varsayımı)
• Erlang-A — Erlang-C + sabırsız müşteri (abandon) modeli; modern çağrı merkezi standardı

Bu site şimdilik Erlang-B (bu araç, M/M/c/c modu) ve Erlang-C (M/M/c aracı) sağlar; Erlang-A ileride eklenebilir.

Bu araçla ne yapabilirsin?

Sonlu Kapasiteli Kuyruk Analizci aracında:

• Model seç — M/M/1/K veya M/M/c/K
• λ, μ, c, K gir — modele göre alanlar dinamik gösterilir
• Sonuçları gör — P_K (bloklama), λ_eff, ρ, L, L_q, W_q
• Durum olasılığı çubuk grafiği — P_n dağılımı, son çubuk kehribar rengiyle bloklamayı vurgular
• Tarayıcıda hesaplama — sunucu yok, veri ayrılmıyor, çevrimdışı çalışır

→ Aracı aç

Bu modelden bağımsız diğer yaklaşımlar

Sonlu-K M/M sınıfı dışında pratik problemleri kapsamak için:

• G/G/c/K — genel dağılımlı varış/servis; kapalı çözüm yok, simülasyon veya yaklaşımlar gerekir
• M/M/c with abandonment (Erlang-A) — kuyrukta beklerken vazgeçen müşteriler
• Network of queues (Jackson, BCMP) — birbirine bağlı kuyruklar
• Phase-type service — multi-stage servis

Klasik tekil sunucu temellerini gözden geçirmek istersen M/M/1 Kuyruk Analizci ve eşlik eden M/M/1 Kuyruk Teorisi Rehberi burada.

Sıkça sorulanlar

Sonlu kapasiteli kuyruk ne demek?

Sistemin aynı anda barındırabileceği müşteri sayısı sınırlı olan kuyruktur — örneğin K kişilik bekleme salonu, K kapasiteli ağ buffer'ı, K kasalı süpermarket. Sistem K müşteriye ulaştığında gelen yeni müşteri reddedilir ve kaybolur (loss system). Sonsuz kapasiteli M/M/c modellerinin aksine, sonlu sistemler λ > μ olsa bile her zaman kararlıdır — sınırlı durum uzayı kuyruğun patlamasına izin vermez.

Bloklama olasılığı P_K nasıl yorumlanır?

P_K = P(N = K), sistem tam dolu iken yeni bir müşterinin gelme olasılığıdır. PASTA özelliği (Poisson varışlar zaman-ortalama dağılımı görür) gereği bu, aynı zamanda gelen bir müşterinin reddedilme olasılığıdır. Pratikte tasarım hedefi belirlenir (ör. P_K < %2) ve buna göre K veya c ayarlanır.

Efektif geliş hızı λ_eff neden önemli?

λ_eff = λ · (1 − P_K), uzun-dönem kabul edilen müşterilerin geliş hızıdır. Little Yasası L = λ_eff · W bu efektif hız ile kullanılır — orijinal λ ile değil. Reddedilen müşteriler sistem dinamiğine katkı yapmaz. Bu, sonlu sistemlerde W ve W_q hesaplarken sık unutulan bir noktadır.

Erlang-B formülü tam olarak ne hesaplar?

B(c, a), M/M/c/c kayıp sisteminde bloklama olasılığıdır. Kuyrukta beklenmez — sunucular doluysa müşteri reddedilir. Formülü: B(c,a) = (a^c/c!) / Σ_{n=0}^{c} a^n/n!. Klasik telefon devre tasarımı bu formülle yapılmıştır; 'kaç devre koyarsam çağrıların %1'i bloklanır?' sorusunun matematiksel cevabıdır. Sayısal olarak kararsız olabilen toplam yerine standart bir özyineli formülle hesaplanır: B(0)=1, B(n)=a·B(n-1)/(n+a·B(n-1)).

Erlang-B ve Erlang-C arasındaki fark nedir?

İki formül farklı sistemleri model alır. **Erlang-B** kayıp sistemini (M/M/c/c) — sunucular doluysa müşteri redde gider, beklemez. **Erlang-C** ise sınırsız bekleme alanı olan M/M/c'de bir müşterinin beklemeye düşme olasılığını verir. İkisi de M/M/c'nin değişik sınır hâlleri: B 'kapı tıka basa kapalı' senaryosu, C 'kuyruk başlamaz mı?' sorusu. Modern çağrı merkezleri ikisini de gözden geçirir; bu site ayrıca [M/M/c Çoklu Sunucu Kuyruk Analizci](/or-araclari/araclar/mmc-kuyruk-analizci) aracını sınırsız buffer için sağlar.

K → ∞ yaparsam ne olur?

Sonlu sistem, sonsuz kuyruğa yakınsar. ρ = λ/(cμ) < 1 ise sistem M/M/c'ye düşer; bloklama olasılığı 0'a iner ve Erlang-C dinamikleri geçerli olur. ρ ≥ 1 ise klasik M/M/c kararsız hâle gelir (formüller geçersiz); bu durumda sonlu K vazgeçilmezdir. Yani sonlu K iki amaçla seçilir: fiziksel bir bekleme alanı sınırı modellemek ya da matematiksel olarak kararsız bir sistemi 'tıkamak' ve bloklama maliyetine dönüştürmek.